Kelly Criterion

Kelly Criterion escolhe a distribuição de capital segundo o logaritmo esperado de seu multiplicador após a próxima etapa. Com a repetição, os multiplicadores de capital se multiplicam, enquanto seus logaritmos se somam. O trabalho original de Kelly usa essa relação para a taxa de crescimento de longo prazo sob determinadas hipóteses. Maximizar o valor monetário esperado pode produzir outra escolha, como uma aposta excessiva com possibilidade de perder tudo. Portanto, ótimo sempre se refere a um objetivo e modelo específicos, não a todas as necessidades de uma pessoa nem a toda trajetória futura. [Kelly — A New Interpretation of Information Rate]

No modelo simples, a fração f é a parte do capital atual sujeita à perda total em uma etapa. Após cada resultado, o valor monetário é recalculado a partir do novo capital. Não se trata, portanto, de uma aposta monetária constante nem automaticamente de uma porcentagem do valor nocional de uma posição. Nossa ilustração de conferência: com capital de 1000 USD e fração de 0.2, a primeira aposta é 200 USD; após perdê-la integralmente, restam 800 USD, e a mesma fração significa uma próxima aposta de 160 USD. Supomos valores divisíveis e nenhum custo adicional. [Kelly — A New Interpretation of Information Rate] [CFA Research Foundation — The Stochastic Programming Approach to Asset, Liability, and Wealth Management]

Denotemos a probabilidade de ganhar por p e a de perder por q = 1 - p. A vitória gera lucro líquido de b vezes o valor apostado, e a derrota perde toda a aposta; b não inclui, portanto, a devolução do valor apostado. Para uma fração não negativa sem empréstimos, maximizamos g(f) = p ln(1 + b f) + q ln(1 - f), em que ln é o logaritmo natural. Com probabilidade de perda diferente de zero, um logaritmo finito exige uma fração menor que um. Se as probabilidades de ganhar e perder forem positivas e b for positivo, o ótimo interior será f = p - q / b. Se resultar negativo, escolhemos fração zero quando a aposta oposta é proibida. Essa fórmula não se aplica sem ajustes a perdas parciais arbitrárias ou a vários pagamentos distintos. [CFA Research Foundation — The Stochastic Programming Approach to Asset, Liability, and Wealth Management]

Kelly Criterion não determina a probabilidade real de ganhar. Se receber uma estimativa errada, o tamanho calculado pode ser inadequado mesmo com aritmética correta. Por isso, Sun e Boyd estudam uma variante em que a distribuição não é conhecida exatamente, mas pertence a um conjunto definido de possibilidades. Eles otimizam o pior crescimento logarítmico dentro desse conjunto. Nem esse método protege contra possibilidades omitidas do modelo. Nosso exemplo usa duas probabilidades hipotéticas explicitamente escolhidas, não estimativas obtidas de dados de negociação. [Sun and Boyd — Distributional Robust Kelly Gambling]

Busseti, Ryu e Boyd separam a maximização do crescimento de longo prazo da limitação da probabilidade de o capital cair abaixo de um nível escolhido. Mesmo no ótimo de Kelly, o capital pode cair bastante antes de crescer. O estudo acrescenta uma condição de risco separada; sem ela, não se pode afirmar que o critério por si só garante um limite de queda escolhido. O resultado para uma longa repetição também não promete lucro após um número pequeno e fixo de etapas. Um plano prático deve definir separadamente o limite em que não se pode ou não se quer continuar. [Busseti, Ryu and Boyd — Risk-Constrained Kelly Gambling] [CME — Risk Management and Your Trade Plan]

Fractional Kelly usa apenas uma parte da fração calculada pelo critério básico. No modelo dado, isso pode mudar o compromisso entre crescimento e risco de queda; não é, porém, uma confirmação universal de tamanho seguro. Metade de uma fração mal estimada continua derivada de uma entrada errada. Por isso, o estudo da variante com restrição de risco compara crescimento e risco separadamente, em vez de apresentar uma fração qualquer como garantia. Não recomendamos aqui nenhuma fração específica para uma conta real. Primeiro, é preciso saber quais resultados e riscos o modelo efetivamente inclui. [Busseti, Ryu and Boyd — Risk-Constrained Kelly Gambling] [Sun and Boyd — Distributional Robust Kelly Gambling]

O cálculo para uma aposta binária isolada não resolve automaticamente uma carteira. Posições simultâneas podem compartilhar cenários adversos e disputar o mesmo capital. O modelo geral do problema de Kelly usa a distribuição dos pagamentos conjuntos e a alocação de capital entre as possibilidades. A CME também distingue no plano de negociação a alavancagem, as perdas individuais e a exposição total da conta. Portanto, frações calculadas separadamente não podem ser simplesmente somadas sem verificação nem aplicadas individualmente à conta inteira. As restrições conjuntas de orçamento e risco precisam ser respeitadas. [Busseti, Ryu and Boyd — Risk-Constrained Kelly Gambling] [CME — Risk Management and Your Trade Plan]

No mercado, o preço inserido não equivale ao preço de todas as execuções reais. A Coinbase descreve execuções parciais, preço incerto de ordens a mercado e possível não execução da proteção em alta volatilidade. Os pagamentos do modelo precisam, portanto, contabilizar corretamente os custos e tratar o saldo em aberto; os mesmos custos não podem ser deduzidos duas vezes. A NFA também aponta o benefício da retrospectiva e as limitações do desempenho hipotético. Assim, a fração calculada não é uma instrução de negociação pronta. É o resultado do modelo informado, cujas entradas e aplicabilidade precisam ser verificadas separadamente. [Coinbase — Advanced trade order types] [NFA — Use of Promotional Material Containing Hypothetical Performance Results]