Kelly Criterion

Pedro poderia apostar tudo e ganhar mais se acertasse. Porém, uma única perda total o deixaria sem dinheiro para continuar. John Kelly estudou essa diferença entre um valor médio atraente e o crescimento de uma conta no seu trabalho de 1956. Em operações repetidas, cada retorno incide sobre um novo saldo. O logaritmo transforma multiplicações em somas e permite comparar esse crescimento. Por isso, Kelly maximiza o crescimento logarítmico esperado, não o ganho monetário esperado. Aqui, “ótimo” significa o melhor para aquele objetivo e aquelas hipóteses. [1]

Vejamos um exemplo puramente numérico. Com capital de 1000 USD e fração de 0.2, Pedro aposta 200 USD. Se perder toda a aposta, restam 800 USD; a próxima aposta com a mesma fração será de apenas 160 USD. Ele não tenta manter o valor inicial a qualquer custo. Nesse modelo simples, f é a parcela do capital atual que pode ser totalmente perdida naquela etapa. Não é automaticamente a parcela correspondente ao valor total de uma posição: suas perdas, pagamentos ou alavancagem podem funcionar de outra maneira. Supomos valores divisíveis e ausência de custos. [1] [2]

Podemos generalizar o exemplo. A probabilidade de ganhar é p e a de perder é q = 1 - p. Uma vitória devolve a aposta e gera lucro líquido de b vezes o valor apostado; uma derrota perde a aposta inteira. Para a fração f, o crescimento logarítmico esperado é g(f) = p ln(1 + b f) + q ln(1 - f), em que ln é o logaritmo natural. Se ambas as probabilidades e b forem positivos, o ótimo interior é f = p - q / b. Sem empréstimos nem possibilidade de apostar no resultado contrário, substituímos uma resposta negativa por zero. Havendo chance de perder, apostar tudo fica excluído: o logaritmo de um saldo nulo não é finito. Perdas parciais ou mais resultados possíveis exigem um modelo correspondente. [2]

Um resultado pode mostrar muitas casas decimais e ainda partir de uma estimativa errada. Kelly Criterion não sabe com que frequência Pedro realmente ganhará. No exemplo abaixo, basta mudar a probabilidade presumida para uma fração antes favorável produzir crescimento logarítmico esperado negativo. Sun e Boyd tratam essa incerteza considerando várias distribuições possíveis de resultados: otimizam o crescimento no pior caso permitido. Mesmo essa proteção só alcança as possibilidades incluídas. Excluir um cenário do modelo não o retira do mundo real. [4]

Crescimento de longo prazo não é uma subida em linha reta. As perdas podem chegar primeiro, e Pedro talvez não consiga esperar por tempos melhores. Busseti, Ryu e Boyd separam, portanto, o objetivo de crescimento de uma condição adicional que limita a probabilidade de cair abaixo de determinado nível de capital. A regra básica de Kelly não impõe sozinha essa proteção. A CME também trata as perdas aceitáveis como parte separada do plano de negociação. Um resultado sobre muitas repetições não promete lucro após um período curto e fixo. [3] [5]

Isso se chama Fractional Kelly. Em vez de apostar toda a fração calculada, usamos uma parte e deixamos o restante fora da aposta. No mesmo modelo, isso muda a relação entre crescimento esperado e risco de queda. Metade da fração não significa metade da probabilidade de perder nem segurança automática. Se Pedro superestimou sua vantagem, uma aposta menor não corrige o erro. Estudos de Kelly com restrição de risco avaliam crescimento e quedas separadamente. Uma fração precisa ser examinada junto com suas hipóteses; nenhuma é recomendada aqui para uma conta real. [3] [4]

Imagine que Pedro abra várias operações que perdem com o mesmo movimento do preço do bitcoin. Cálculos separados podem fazer cada uma parecer aceitável, embora a soma exponha muito mais dinheiro. O modelo geral de Kelly considera os pagamentos conjuntos e distribui o mesmo capital entre as alternativas. Cada posição não pode agir como se dispusesse da conta inteira. A CME também considera a exposição total e a alavancagem, isto é, o tamanho das posições em relação ao capital próprio. As relações entre os resultados precisam entrar no cálculo. [3] [5]

Os lucros e perdas do modelo correspondem ao que pode ser executado? A Coinbase explica que uma ordem pode ser executada em partes a preços diferentes e que uma ordem de proteção talvez não consiga a saída prevista. Os resultados precisam incluir taxas, diferenças entre preços esperados e reais e qualquer parte da posição que continue aberta. Custos já incluídos nos pagamentos líquidos não devem ser descontados novamente. A NFA também observa que resultados hipotéticos costumam aproveitar o conhecimento do passado e não comprovam execução real. A fração de Kelly é a conclusão do modelo; a confiabilidade das entradas exige verificação separada. [6] [7]