Kelly Criterion

Kelly Criterion wählt die Kapitalaufteilung anhand des erwarteten Logarithmus des Kapitalfaktors nach dem nächsten Schritt. Bei Wiederholung werden die Kapitalfaktoren multipliziert, ihre Logarithmen dagegen addiert. Kellys Originalarbeit nutzt diesen Zusammenhang für die langfristige Wachstumsrate unter bestimmten Annahmen. Die Maximierung des erwarteten Geldwerts kann zu einer anderen Wahl führen, etwa einem zu großen Einsatz mit der Möglichkeit eines Totalverlusts. Optimal bezieht sich daher stets auf ein bestimmtes Ziel und Modell, nicht auf alle Bedürfnisse eines Menschen oder jeden zukünftigen Verlauf. [1]

Im einfachen Modell bedeutet der Anteil f den Teil des aktuellen Kapitals, der in einem Schritt vollständig verloren gehen kann. Nach jedem Ergebnis wird der Geldbetrag aus dem neuen Kapital erneut bestimmt. Es handelt sich also weder um einen konstanten Geldeinsatz noch automatisch um einen Prozentsatz des Nominalwerts einer Handelsposition. Eigene Kontrollillustration: Bei 1000 USD Kapital und einem Anteil von 0.2 beträgt der erste Einsatz 200 USD; nach dessen vollständigem Verlust bleiben 800 USD, und derselbe Anteil ergibt den nächsten Einsatz von 160 USD. Teilbare Beträge und keine weiteren Kosten werden vorausgesetzt. [1] [2]

Die Gewinnwahrscheinlichkeit sei p und die Verlustwahrscheinlichkeit q = 1 - p. Ein Gewinn bringt einen Nettogewinn in Höhe des b-Fachen des Einsatzes, ein Verlust kostet den gesamten Einsatz; b enthält also nicht den zurückgezahlten Einsatz. Für einen nichtnegativen Anteil ohne Kreditaufnahme maximieren wir g(f) = p ln(1 + b f) + q ln(1 - f), wobei ln der natürliche Logarithmus ist. Bei positiver Verlustwahrscheinlichkeit erfordert ein endlicher Logarithmus einen Anteil kleiner als eins. Sind Gewinn- und Verlustwahrscheinlichkeit beide positiv und ist b positiv, lautet das innere Optimum f = p - q / b. Ist dieser Wert negativ, wählen wir bei ausgeschlossener Gegenwette den Anteil null. Die Formel gilt nicht unverändert für beliebige Teilverluste oder mehrere unterschiedliche Auszahlungen. [2]

Kelly Criterion bestimmt nicht die tatsächliche Gewinnwahrscheinlichkeit. Bei einer falschen Schätzung kann die berechnete Größe trotz fehlerfreier Arithmetik ungeeignet sein. Sun und Boyd untersuchen deshalb eine Variante, bei der die Verteilung nicht genau bekannt ist, sondern zu einer festgelegten Menge möglicher Verteilungen gehört. Sie optimieren das schlechteste logarithmische Wachstum innerhalb dieser Menge. Auch dieses Vorgehen schützt nicht vor im Modell ausgelassenen Möglichkeiten. Unser Beispiel verwendet zwei ausdrücklich gewählte hypothetische Wahrscheinlichkeiten, keine Schätzungen aus Handelsdaten. [4]

Busseti, Ryu und Boyd trennen die Maximierung langfristigen Wachstums von einer Begrenzung der Wahrscheinlichkeit, dass das Kapital unter ein gewähltes Niveau fällt. Auch beim Kelly-Optimum kann das Kapital vor dem Wachstum erheblich sinken. Ihre Studie ergänzt eine eigene Risikobedingung; ohne sie lässt sich nicht behaupten, das Kriterium allein garantiere eine gewählte Rückgangsgrenze. Ein Ergebnis für lange Wiederholungsfolgen verspricht auch keinen Gewinn nach einer festgelegten kleinen Schrittzahl. Ein praktischer Plan muss gesondert die Grenze festlegen, ab der man nicht mehr fortsetzen kann oder will. [3] [5]

Fractional Kelly verwendet nur einen Teil des nach dem Grundkriterium berechneten Anteils. Im gegebenen Modell kann dies den Kompromiss zwischen Wachstum und Rückgangsrisiko verändern, bestätigt jedoch keine allgemein sichere Größe. Die Hälfte eines falsch geschätzten Anteils beruht weiterhin auf einer falschen Eingabe. Die Studie zur risikobeschränkten Variante vergleicht daher Wachstum und Risiko getrennt, statt einen beliebigen Bruchteil als Garantie auszugeben. Wir empfehlen hier keinen bestimmten Bruchteil als geeignet für ein reales Konto. Zuerst muss klar sein, welche Ergebnisse und Risiken das Modell überhaupt enthält. [3] [4]

Die Berechnung für eine isolierte Wette mit zwei Ergebnissen löst nicht automatisch ein Portfolioproblem. Gleichzeitige Positionen können dieselben ungünstigen Szenarien teilen und konkurrieren um dasselbe Kapital. Das allgemeine Kelly-Modell arbeitet mit der Verteilung gemeinsamer Auszahlungen und der Kapitalaufteilung auf die Möglichkeiten. CME unterscheidet im Handelsplan außerdem Hebel, einzelne Verluste und die Gesamtexposition des Kontos. Separat berechnete Anteile dürfen daher nicht ungeprüft addiert oder jeweils auf das gesamte Konto angewendet werden. Gemeinsame Budget- und Risikobeschränkungen müssen eingehalten werden. [3] [5]

Am Markt ist ein eingegebener Preis nicht identisch mit den Preisen aller tatsächlichen Ausführungen. Coinbase beschreibt Teilausführungen, den unsicheren Preis eines Marktauftrags und einen möglichen Ausfall der Schutzfunktion bei hoher Volatilität. Modellauszahlungen brauchen daher korrekt berücksichtigte Kosten und eine Regel für offene Restmengen; dieselben Kosten dürfen nicht doppelt abgezogen werden. NFA weist zugleich auf Rückschauwissen und Grenzen hypothetischer Ergebnisse hin. Der berechnete Anteil ist somit kein fertiger Handelsauftrag. Er ist das Ergebnis des angegebenen Modells, dessen Eingaben und Anwendbarkeit gesondert geprüft werden müssen. [6] [7]