Kelly Criterion

Kelly Criterion अगले चरण के बाद पूँजी के गुणक के अपेक्षित लघुगणक के अनुसार आवंटन चुनता है। बार-बार दोहराने पर पूँजी के गुणकों का गुणा होता है, जबकि उनके लघुगणक जुड़ते हैं। केली का मूल शोध तय मान्यताओं में दीर्घकालिक वृद्धि दर के लिए इस संबंध का उपयोग करता है। अपेक्षित धनराशि अधिकतम करने पर दूसरा चुनाव मिल सकता है, जैसे ऐसा अत्यधिक दाँव जिसमें सब कुछ खोने की संभावना हो। इसलिए इष्टतम हमेशा किसी खास लक्ष्य और मॉडल के लिए होता है, व्यक्ति की सभी ज़रूरतों या हर भावी रास्ते के लिए नहीं। [Kelly — A New Interpretation of Information Rate]

सरल मॉडल में अंश f वर्तमान पूँजी का वह हिस्सा है जो एक चरण में पूरी तरह खो सकता है। हर परिणाम के बाद नई पूँजी से धनराशि फिर निकाली जाती है। इसलिए यह हमेशा समान धनराशि का दाँव नहीं है और अपने-आप ट्रेडिंग पोज़िशन के सांकेतिक मूल्य का प्रतिशत भी नहीं है। हमारा जाँच उदाहरण: ⁦1000 USD⁩ पूँजी और ⁦0.2⁩ अंश पर पहला दाँव ⁦200 USD⁩ है; उसे पूरी तरह खोने पर ⁦800 USD⁩ बचते हैं और उसी अंश से अगला दाँव ⁦160 USD⁩ बनता है। राशियाँ विभाज्य और अतिरिक्त लागत शून्य मानी गई हैं। [Kelly — A New Interpretation of Information Rate] [CFA Research Foundation — The Stochastic Programming Approach to Asset, Liability, and Wealth Management]

जीतने की प्रायिकता p और हारने की प्रायिकता ⁦q = 1 - p⁩ मानें। जीत में दाँव की राशि के b गुने के बराबर शुद्ध लाभ मिलता है, जबकि हार में पूरा दाँव खो जाता है; इसलिए b में लौटी हुई मूल राशि शामिल नहीं है। बिना उधार के गैर-ऋणात्मक अंश के लिए हम ⁦g(f) = p ln(1 + b f) + q ln(1 - f)⁩ अधिकतम करते हैं, जहाँ ln प्राकृतिक लघुगणक है। हार की प्रायिकता शून्य न हो तो परिमित लघुगणक के लिए अंश एक से कम होना चाहिए। जीत और हार दोनों की प्रायिकता सकारात्मक तथा b सकारात्मक हो तो आंतरिक इष्टतम ⁦f = p - q / b⁩ है। यह ऋणात्मक निकले तो विपरीत दाँव की मनाही होने पर शून्य अंश चुना जाता है। यह सूत्र मनमानी आंशिक हानियों या कई अलग भुगतान परिणामों पर बिना बदलाव लागू नहीं होता। [CFA Research Foundation — The Stochastic Programming Approach to Asset, Liability, and Wealth Management]

Kelly Criterion जीतने की वास्तविक प्रायिकता तय नहीं करता। गलत अनुमान डालने पर त्रुटिरहित अंकगणित के बावजूद निकला आकार अनुपयुक्त हो सकता है। इसलिए Sun और Boyd ऐसा संस्करण अध्ययन करते हैं जिसमें वितरण ठीक-ठीक ज्ञात नहीं, बल्कि संभावनाओं के एक निर्धारित समूह में है। वे उस समूह के भीतर सबसे खराब लघुगणकीय वृद्धि को अनुकूलित करते हैं। यह तरीका भी मॉडल से बाहर छोड़ी गई संभावनाओं से नहीं बचाता। हमारा उदाहरण स्पष्ट रूप से चुनी गई दो काल्पनिक प्रायिकताएँ उपयोग करता है, ट्रेडिंग आँकड़ों से प्राप्त अनुमान नहीं। [Sun and Boyd — Distributional Robust Kelly Gambling]

Busseti, Ryu और Boyd दीर्घकालिक वृद्धि अधिकतम करने को पूँजी के चुने हुए स्तर से नीचे गिरने की प्रायिकता सीमित करने से अलग रखते हैं। केली इष्टतम पर भी बढ़ने से पहले पूँजी बहुत गिर सकती है। उनका अध्ययन जोखिम की अलग बाधा जोड़ता है; उसके बिना यह दावा नहीं कर सकते कि केवल मानदंड ही चुनी हुई गिरावट सीमा की गारंटी देता है। लंबे दोहराव का परिणाम भी निश्चित कम चरणों के बाद लाभ का वादा नहीं है। व्यावहारिक योजना को वह सीमा अलग से तय करनी चाहिए जिसके बाद जारी रखना संभव या वांछित नहीं है। [Busseti, Ryu and Boyd — Risk-Constrained Kelly Gambling] [CME — Risk Management and Your Trade Plan]

Fractional Kelly मूल मानदंड से निकले अंश का केवल कुछ हिस्सा उपयोग करता है। दिए गए मॉडल में इससे वृद्धि और गिरावट के जोखिम का संतुलन बदल सकता है, लेकिन यह सार्वभौमिक रूप से सुरक्षित आकार की पुष्टि नहीं है। गलत अनुमानित अंश का आधा भी गलत इनपुट से ही निकला रहता है। इसलिए जोखिम-सीमित संस्करण का अध्ययन किसी मनमाने भिन्न को गारंटी बताने के बजाय वृद्धि और जोखिम को अलग-अलग तुलना करता है। यहाँ कोई खास भिन्न वास्तविक खाते के लिए अनुशंसित नहीं है। पहले स्पष्ट होना चाहिए कि मॉडल किन परिणामों और जोखिमों को शामिल करता है। [Busseti, Ryu and Boyd — Risk-Constrained Kelly Gambling] [Sun and Boyd — Distributional Robust Kelly Gambling]

एक अलग दो-परिणाम वाले दाँव की गणना अपने-आप पोर्टफोलियो का समाधान नहीं है। एक साथ खुली पोज़िशनें समान प्रतिकूल परिस्थितियों से प्रभावित हो सकती हैं और उसी पूँजी के लिए प्रतिस्पर्धा करती हैं। केली समस्या का सामान्य मॉडल संयुक्त भुगतान परिणामों के वितरण और विकल्पों के बीच पूँजी आवंटन पर काम करता है। CME भी ट्रेडिंग योजना में लीवरेज, अलग-अलग हानियों और खाते के कुल एक्सपोज़र में अंतर करता है। इसलिए अलग निकाले गए अंशों को जाँचे बिना जोड़ना या हर अंश पूरे खाते पर लगाना उचित नहीं है। संयुक्त बजट और जोखिम बाधाएँ बनी रहनी चाहिए। [Busseti, Ryu and Boyd — Risk-Constrained Kelly Gambling] [CME — Risk Management and Your Trade Plan]

बाज़ार में दर्ज मूल्य सभी वास्तविक निष्पादनों का मूल्य नहीं होता। Coinbase आंशिक निष्पादन, बाज़ार ऑर्डर के अनिश्चित मूल्य और अधिक अस्थिरता में सुरक्षा के निष्पादित न होने का वर्णन करता है। इसलिए मॉडल के भुगतान परिणामों में लागत सही शामिल होनी चाहिए और खुले शेष हिस्से को संभालना चाहिए; एक ही लागत दो बार नहीं घटानी चाहिए। NFA भी बाद की जानकारी और काल्पनिक प्रदर्शन की सीमाएँ बताता है। इसलिए निकाला गया अंश तैयार ट्रेडिंग निर्देश नहीं है। वह एक बताए गए मॉडल का परिणाम है जिसके इनपुट और उपयोगिता अलग से जाँचना ज़रूरी है। [Coinbase — Advanced trade order types] [NFA — Use of Promotional Material Containing Hypothetical Performance Results]