Kelly Criterion

पीटर सब कुछ लगा दे तो जीतने पर सबसे अधिक कमा सकता है। लेकिन एक बार पूरा दाँव हारने के बाद आगे बढ़ने के लिए पैसा नहीं बचेगा। आकर्षक औसत रकम और एक खाते की बढ़ोतरी के इस फर्क पर John Kelly ने 1956 के शोधपत्र में विचार किया था। बार-बार निवेश करने पर हर प्रतिफल नए शेष पर लागू होता है। लघुगणक गुणा को जोड़ में बदलने वाला गणितीय साधन है, जिससे इस बढ़ोतरी की तुलना की जा सकती है। इसलिए Kelly अपेक्षित नकद जीत नहीं, अपेक्षित लघुगणकीय बढ़ोतरी को अधिकतम करता है। यहाँ ‘सर्वोत्तम’ का अर्थ उसी लक्ष्य और उन्हीं मान्यताओं के लिए सर्वोत्तम है। [1]

एक शुद्ध गणितीय उदाहरण लें। 1000 USD की पूँजी और 0.2 के हिस्से पर पीटर 200 USD लगाता है। पूरा दाँव खोने के बाद 800 USD बचते हैं; उसी हिस्से के हिसाब से अगली रकम केवल 160 USD होगी। वह हर हाल में पहली रकम कायम रखने की कोशिश नहीं करता। इस सरल मॉडल में f वर्तमान पूँजी का वह हिस्सा है जो उस चरण में पूरा खो सकता है। यह अपने आप किसी ट्रेडिंग पोज़िशन के कुल मूल्य का खाते में हिस्सा नहीं है: उसके नुकसान, भुगतान या लेवरेज की व्यवस्था अलग हो सकती है। उदाहरण में रकम को मनचाहे हिस्सों में बाँटना संभव है और कोई लागत नहीं है। [1] [2]

अब उदाहरण को सामान्य रूप दे सकते हैं। जीत की संभावना p और हार की संभावना q = 1 - p है। जीतने पर लगाई रकम वापस मिलती है और उसके अलावा दाँव की b गुनी शुद्ध कमाई होती है; हारने पर पूरा दाँव चला जाता है। हिस्सा f होने पर अपेक्षित लघुगणकीय बढ़ोतरी g(f) = p ln(1 + b f) + q ln(1 - f) है, जहाँ ln प्राकृतिक लघुगणक है। दोनों संभावनाएँ और b धनात्मक हों तो सीमा के भीतर सर्वोत्तम मान f = p - q / b होता है। उधार या विपरीत परिणाम पर दाँव की अनुमति न हो तो ऋणात्मक उत्तर की जगह शून्य लेते हैं। हार की संभावना होने पर पूरी पूँजी लगाना बाहर हो जाता है, क्योंकि शून्य शेष का लघुगणक सीमित नहीं है। आंशिक नुकसान या और तरह के भुगतान हों तो उनके अनुरूप मॉडल चाहिए। [2]

उत्तर में दशमलव के बाद कई अंक हों, फिर भी वह गलत अनुमान पर टिका हो सकता है। Kelly Criterion नहीं जानता कि पीटर असल में कितनी बार जीतेगा। नीचे के उदाहरण में अनुमानित संभावना बदलते ही पहले उपयोगी रहा हिस्सा ऋणात्मक अपेक्षित लघुगणकीय बढ़ोतरी देने लगता है। Sun और Boyd इस अनिश्चितता को परिणामों के कई संभव वितरण लेकर देखते हैं: वे अनुमति दिए गए सबसे खराब मामले में बढ़ोतरी को सर्वोत्तम बनाते हैं। यह सुरक्षा भी केवल शामिल की गई संभावनाओं तक पहुँचती है। मॉडल से कोई स्थिति हटाने पर वह असल दुनिया से नहीं हट जाती। [4]

लंबे समय की बढ़ोतरी सीधी चढ़ाई नहीं होती। नुकसान पहले आ सकते हैं और पीटर बेहतर समय तक इंतज़ार करने की स्थिति में न हो। इसलिए Busseti, Ryu और Boyd बढ़ोतरी के लक्ष्य को एक अतिरिक्त शर्त से अलग रखते हैं, जो पूँजी के चुने हुए स्तर से नीचे जाने की संभावना सीमित करती है। मूल Kelly नियम यह सुरक्षा अपने आप नहीं जोड़ता। CME भी स्वीकार्य नुकसान को ट्रेडिंग योजना का अलग हिस्सा मानता है। बहुत बार दोहराने से जुड़ा परिणाम यह वादा नहीं करता कि छोटी, तय अवधि के बाद खाता लाभ में होगा। [3] [5]

इसे Fractional Kelly कहते हैं। पूरे गणना किए हिस्से के बजाय उसका कुछ भाग लगाते हैं और बाकी दाँव से बाहर रखते हैं। उसी मॉडल में अपेक्षित बढ़ोतरी और पूँजी में गिरावट के जोखिम का संतुलन बदलता है। आधा हिस्सा लगाने का मतलब नुकसान की संभावना आधी होना या अपने आप सुरक्षित हो जाना नहीं है। पीटर ने बढ़त अधिक आँकी हो तो छोटी रकम यह गलती नहीं सुधारती। जोखिम-सीमित Kelly के अध्ययन इसलिए बढ़ोतरी और गिरावट को अलग-अलग परखते हैं। किसी खास अंश को उसकी मान्यताओं के साथ देखना चाहिए; यहाँ वास्तविक खाते के लिए किसी अंश की सिफारिश नहीं है। [3] [4]

मान लें पीटर ऐसे कई ट्रेड खोलता है जो बिटकॉइन की कीमत में एक ही बदलाव से नुकसान उठाते हैं। अलग-अलग गणना में हर ट्रेड स्वीकार्य लग सकता है, लेकिन साथ मिलकर बहुत अधिक पैसा जोखिम में आ जाता है। इसलिए सामान्य Kelly मॉडल एक साथ होने वाले भुगतानों को देखता है और उसी पूँजी को अलग विकल्पों में बाँटता है। हर पोज़िशन यह नहीं मान सकती कि पूरा खाता सिर्फ उसी का है। CME कुल एक्सपोज़र और लेवरेज भी देखता है, यानी अपनी पूँजी की तुलना में पोज़िशनों का आकार। परिणामों के बीच संबंध गणना में शामिल होने चाहिए। [3] [5]

क्या मॉडल के लाभ और नुकसान ऐसे ट्रेड से मेल खाते हैं जो वास्तव में हो सकता है? Coinbase बताता है कि ऑर्डर अलग कीमतों पर हिस्सों में पूरा हो सकता है और सुरक्षा वाला ऑर्डर इच्छित निकास दिलाने में विफल हो सकता है। इसलिए परिणाम में शुल्क, अनुमानित और वास्तविक कीमत का अंतर तथा खुली बची पोज़िशन शामिल होनी चाहिए। शुद्ध भुगतान में पहले से शामिल लागत दोबारा नहीं घटाते। NFA यह भी याद दिलाता है कि काल्पनिक प्रदर्शन अक्सर अतीत की जानकारी का लाभ उठाता है और वास्तविक निष्पादन साबित नहीं करता। Kelly का हिस्सा मॉडल का निष्कर्ष है; उसके इनपुट की विश्वसनीयता अलग से जाँचनी होती है। [6] [7]