Kelly Criterion

Kelly Criterion wybiera podział kapitału według oczekiwanego logarytmu jego mnożnika po następnym kroku. Przy powtarzaniu mnożniki kapitału mnożą się, a ich logarytmy sumują. Oryginalna praca Kelly’ego wykorzystuje ten związek do długoterminowej stopy wzrostu przy określonych założeniach. Maksymalizacja oczekiwanej wartości pieniężnej może dać inny wybór, na przykład zbyt dużą stawkę z możliwością utraty wszystkiego. Słowo „optymalny” zawsze odnosi się więc do konkretnego celu i modelu, nie do wszystkich potrzeb człowieka ani każdej przyszłej ścieżki. [Kelly — A New Interpretation of Information Rate]

W prostym modelu udział f oznacza część bieżącego kapitału narażoną na całkowitą utratę w jednym kroku. Po każdym wyniku kwotę oblicza się ponownie z nowego kapitału. Nie jest to zatem stale taka sama stawka pieniężna ani automatycznie procent wartości nominalnej pozycji. Nasza ilustracja kontrolna: przy kapitale 1000 USD i udziale 0.2 pierwsza stawka wynosi 200 USD; po jej całkowitej utracie pozostaje 800 USD, a ten sam udział oznacza następną stawkę 160 USD. Zakładamy podzielność kwot i brak dodatkowych kosztów. [Kelly — A New Interpretation of Information Rate] [CFA Research Foundation — The Stochastic Programming Approach to Asset, Liability, and Wealth Management]

Oznaczmy prawdopodobieństwo wygranej przez p, a przegranej przez q = 1 - p. Wygrana daje zysk netto równy b razy stawka, przegrana oznacza utratę całej stawki; b nie obejmuje więc zwracanego wkładu. Dla nieujemnego udziału bez pożyczania maksymalizujemy g(f) = p ln(1 + b f) + q ln(1 - f), gdzie ln to logarytm naturalny. Przy niezerowym prawdopodobieństwie przegranej skończony logarytm wymaga udziału mniejszego od jedności. Gdy prawdopodobieństwa wygranej i przegranej są dodatnie, a b jest dodatnie, optimum wewnętrzne ma postać f = p - q / b. Jeśli wychodzi ujemne, przy zakazie zakładu przeciwnego wybieramy udział zerowy. Wzór nie działa bez zmian dla dowolnych strat częściowych ani wielu różnych wypłat. [CFA Research Foundation — The Stochastic Programming Approach to Asset, Liability, and Wealth Management]

Kelly Criterion nie określa rzeczywistego prawdopodobieństwa wygranej. Błędne oszacowanie może dać nieodpowiednią wielkość nawet przy poprawnej arytmetyce. Sun i Boyd badają więc wariant, w którym rozkład nie jest dokładnie znany, lecz należy do określonego zbioru możliwości. Optymalizują najgorszy wzrost logarytmiczny w tym zbiorze. Nawet ta metoda nie chroni przed możliwościami pominiętymi w modelu. W przykładzie używamy dwóch jawnie wybranych hipotetycznych prawdopodobieństw, nie oszacowań z danych handlowych. [Sun and Boyd — Distributional Robust Kelly Gambling]

Busseti, Ryu i Boyd oddzielają maksymalizację długoterminowego wzrostu od ograniczenia prawdopodobieństwa spadku kapitału poniżej wybranego poziomu. Nawet przy optimum Kelly’ego kapitał może znacznie spaść, zanim wzrośnie. Ich badanie dodaje odrębny warunek ryzyka; bez niego nie można twierdzić, że samo kryterium gwarantuje wybrany limit obsunięcia. Wynik dla długiej serii powtórzeń nie jest też obietnicą zysku po ustalonej małej liczbie kroków. Praktyczny plan musi osobno określić granicę, przy której nie można lub nie chce się dalej kontynuować. [Busseti, Ryu and Boyd — Risk-Constrained Kelly Gambling] [CME — Risk Management and Your Trade Plan]

Fractional Kelly wykorzystuje tylko część udziału obliczonego według podstawowego kryterium. W danym modelu może to zmienić kompromis między wzrostem a ryzykiem obsunięcia, ale nie stanowi uniwersalnego potwierdzenia bezpiecznej wielkości. Połowa błędnie oszacowanego udziału nadal pochodzi z błędnych danych wejściowych. Dlatego badanie wariantu z ograniczeniem ryzyka porównuje wzrost i ryzyko osobno, zamiast przedstawiać dowolny ułamek jako gwarancję. Nie zalecamy tu żadnego konkretnego ułamka dla rzeczywistego rachunku. Najpierw trzeba wiedzieć, jakie wyniki i ryzyka w ogóle obejmuje model. [Busseti, Ryu and Boyd — Risk-Constrained Kelly Gambling] [Sun and Boyd — Distributional Robust Kelly Gambling]

Obliczenie dla jednego izolowanego zakładu z dwoma wynikami nie jest automatycznym rozwiązaniem problemu portfela. Jednoczesne pozycje mogą dzielić te same niekorzystne scenariusze i konkurować o ten sam kapitał. Ogólny model problemu Kelly’ego wykorzystuje rozkład wspólnych wypłat oraz podział kapitału między możliwości. CME dodatkowo odróżnia w planie handlowym dźwignię, pojedyncze straty i całkowitą ekspozycję rachunku. Osobno obliczonych udziałów nie można więc bez sprawdzenia po prostu sumować ani każdego stosować do całego rachunku. Należy zachować wspólne ograniczenia budżetowe i ryzyka. [Busseti, Ryu and Boyd — Risk-Constrained Kelly Gambling] [CME — Risk Management and Your Trade Plan]

Na rynku wpisana cena nie jest tym samym co ceny wszystkich rzeczywistych wykonań. Coinbase opisuje częściowe wykonania, niepewną cenę zlecenia rynkowego i możliwe niewykonanie ochrony przy dużej zmienności. Wypłaty w modelu wymagają więc poprawnego uwzględnienia kosztów i sposobu traktowania otwartej reszty; tych samych kosztów nie wolno odliczać dwukrotnie. NFA wskazuje też na wiedzę po fakcie i ograniczenia wyników hipotetycznych. Obliczony udział nie jest zatem gotowym poleceniem transakcji. Jest wynikiem podanego modelu, którego dane wejściowe i zastosowanie trzeba osobno zweryfikować. [Coinbase — Advanced trade order types] [NFA — Use of Promotional Material Containing Hypothetical Performance Results]