Kelly Criterion

Piotr mógłby postawić wszystko i najwięcej zarobić, jeśli wygra. Po jednej pełnej przegranej nie miałby jednak czym kontynuować. Tę różnicę między kuszącą średnią kwotą a wzrostem pojedynczego rachunku badał John Kelly w pracy z 1956 roku. Przy powtarzaniu zakładów każda stopa zwrotu odnosi się do nowego salda. Logarytm zamienia mnożenie na dodawanie i pozwala porównywać taki wzrost. Kelly maksymalizuje więc oczekiwany wzrost logarytmiczny, nie oczekiwaną wygraną pieniężną. „Optymalny” oznacza tu najlepszy dla tego celu i tych założeń. [1]

Rozważmy czysto rachunkowy przykład. Przy kapitale 1000 USD i udziale 0.2 Piotr stawia 200 USD. Po utracie całej stawki zostaje mu 800 USD; następna stawka o tym samym udziale wynosi już tylko 160 USD. Nie próbuje więc za wszelką cenę utrzymać początkowej kwoty. W prostym modelu f oznacza część bieżącego kapitału, którą można w danym kroku stracić w całości. Nie jest to automatycznie udział wartości całej pozycji giełdowej: jej straty, wypłaty lub dźwignia mogą działać inaczej. Zakładamy dowolnie podzielne pieniądze i brak kosztów. [1] [2]

Możemy teraz uogólnić przykład. Prawdopodobieństwo wygranej to p, a przegranej q = 1 - p. Wygrana zwraca stawkę i przynosi zysk netto w wysokości b-krotności stawki; przegrana oznacza utratę całej stawki. Dla udziału f oczekiwany wzrost logarytmiczny wynosi g(f) = p ln(1 + b f) + q ln(1 - f), gdzie ln oznacza logarytm naturalny. Gdy oba prawdopodobieństwa i b są dodatnie, optimum wewnętrzne ma postać f = p - q / b. Bez pożyczania i możliwości postawienia na przeciwny wynik wartość ujemną zastępujemy zerem. Dodatnia szansa przegranej wyklucza postawienie wszystkiego, bo logarytm zerowego salda nie jest skończony. Częściowe straty lub więcej wypłat wymagają odpowiedniego modelu. [2]

Wynik może mieć wiele cyfr po przecinku i nadal opierać się na błędnym oszacowaniu. Kelly Criterion nie wie, jak często Piotr rzeczywiście wygra. W przykładzie poniżej zmiana zakładanego prawdopodobieństwa wystarczy, by wcześniej korzystny udział dawał ujemny oczekiwany wzrost logarytmiczny. Sun i Boyd badają tę niepewność, uwzględniając kilka możliwych rozkładów wyników: optymalizują wzrost w najgorszym dopuszczonym przypadku. Nawet taka ochrona obejmuje tylko uwzględnione możliwości. Pominięcie scenariusza w modelu nie usuwa go z rzeczywistości. [4]

Długoterminowy wzrost nie jest prostą drogą w górę. Straty mogą przyjść najpierw, a Piotr może nie zdołać doczekać lepszego okresu. Busseti, Ryu i Boyd oddzielają więc cel wzrostu od dodatkowego warunku ograniczającego prawdopodobieństwo spadku poniżej wybranego poziomu kapitału. Podstawowa reguła Kelly’ego sama nie wprowadza tej ochrony. CME również traktuje dopuszczalne straty jako osobną część planu handlowego. Wynik dotyczący wielu powtórzeń nie obiecuje zysku po krótkim, z góry ustalonym okresie. [3] [5]

Nazywa się to Fractional Kelly. Zamiast całego obliczonego udziału stawiamy jego część, a resztę pozostawiamy poza zakładem. W tym samym modelu zmieniamy relację między oczekiwanym wzrostem a ryzykiem obsunięcia kapitału. Połowa udziału nie oznacza połowy prawdopodobieństwa straty ani automatycznego bezpieczeństwa. Jeśli Piotr przecenił przewagę, mniejsza stawka nie naprawi tego błędu. Badania Kelly’ego z ograniczeniem ryzyka oceniają więc wzrost i obsunięcia osobno. Konkretny ułamek należy rozpatrywać razem z jego założeniami; żadnego nie zalecamy tu dla rzeczywistego rachunku. [3] [4]

Wyobraźmy sobie, że Piotr otwiera kilka transakcji tracących przy tym samym ruchu ceny bitcoina. Osobne obliczenia mogą uznać każdą za dopuszczalną, choć łącznie narażają znacznie więcej pieniędzy. Ogólny model Kelly’ego uwzględnia zatem wspólne wypłaty i dzieli ten sam kapitał między możliwości. Każda pozycja nie może zachowywać się tak, jakby miała cały rachunek wyłącznie dla siebie. CME bierze pod uwagę także całkowitą ekspozycję i dźwignię, czyli rozmiar pozycji względem własnego kapitału. Zależności między wynikami muszą wejść do obliczeń. [3] [5]

Czy modelowane zyski i straty odpowiadają temu, co można wykonać? Coinbase opisuje realizację zleceń częściami po różnych cenach i możliwość niezrealizowania zamierzonego wyjścia przez zlecenie ochronne. Wyniki muszą więc uwzględniać opłaty, różnice między ceną oczekiwaną a faktyczną oraz otwartą resztę pozycji. Kosztów już zawartych w wypłatach netto nie odejmujemy ponownie. NFA przypomina też, że wyniki hipotetyczne często korzystają z wiedzy o przeszłości i nie dowodzą rzeczywistej realizacji. Udział Kelly’ego jest wnioskiem z modelu; wiarygodność danych trzeba sprawdzić osobno. [6] [7]