Kelly Criterion

يمكن لبيتر أن يراهن بكل ماله فيربح أكثر إذا فاز. لكن خسارة كاملة واحدة تتركه بلا مال يواصل به. تناول John Kelly هذا الفرق بين مبلغ متوسط مغرٍ ونمو حساب واحد في بحثه سنة 1956. عند تكرار المحاولات، يُحسب كل عائد على رصيد جديد. يحوّل اللوغاريتم الضرب إلى جمع، فيتيح مقارنة هذا النمو. لذلك يعظّم Kelly النمو اللوغاريتمي المتوقع، لا الربح النقدي المتوقع. وتعني كلمة «الأمثل» هنا الأفضل لهذا الهدف وهذه الافتراضات تحديدًا. [1]

لنأخذ مثالًا حسابيًا فقط. برأس مال قدره 1000 USD ونسبة 0.2، يراهن بيتر بمبلغ 200 USD. إذا خسر الرهان كله، يبقى 800 USD؛ والرهان التالي بالنسبة نفسها يصبح 160 USD فقط. فهو لا يحاول إبقاء المبلغ الأول مهما حدث. في النموذج البسيط، تمثل f الجزء من رأس المال الحالي الذي يمكن فقدانه بالكامل في تلك الخطوة. وليست تلقائيًا نسبة القيمة الكلية لمركز تداول إلى الحساب؛ فقد تختلف خسائره أو عوائده أو رافعته المالية. نفترض هنا إمكان تقسيم المال وعدم وجود تكاليف. [1] [2]

يمكن الآن تعميم المثال. احتمال الفوز هو p واحتمال الخسارة هو ⁦q = 1 - p⁩. يعيد الفوز مبلغ الرهان ويضيف ربحًا صافيًا يساوي b أمثال ذلك المبلغ؛ أما الخسارة فتستهلك الرهان كله. للنسبة f، يكون النمو اللوغاريتمي المتوقع ⁦g(f) = p ln(1 + b f) + q ln(1 - f)⁩، حيث ln هو اللوغاريتم الطبيعي. إذا كان الاحتمالان وb موجبة، فالحل الأمثل الداخلي هو ⁦f = p - q / b⁩. ومن دون اقتراض أو إمكان الرهان على النتيجة المعاكسة، نستبدل الناتج السالب بصفر. وجود احتمال للخسارة يستبعد الرهان بكل رأس المال، لأن لوغاريتم الرصيد الصفري ليس محدودًا. الخسائر الجزئية أو العوائد الإضافية تحتاج إلى نموذج يلائمها. [2]

قد تظهر الإجابة بخانات عشرية كثيرة وتظل مبنية على تقدير خاطئ. لا يعرف Kelly Criterion كم مرة سيفوز بيتر فعلًا. في المثال أدناه، يكفي تغيير الاحتمال المفترض لتنتج نسبة كانت مفيدة نموًا لوغاريتميًا متوقعًا سالبًا. يعالج Sun وBoyd هذا الغموض بالنظر في توزيعات محتملة متعددة للنتائج: يحسّنان النمو في أسوأ حالة مسموح بها. وحتى هذه الحماية لا تتجاوز الاحتمالات التي أُدرجت. حذف سيناريو من النموذج لا يحذفه من العالم الحقيقي. [4]

النمو طويل الأجل ليس صعودًا مستقيمًا. قد تأتي الخسائر أولًا، وقد لا يستطيع بيتر انتظار فترة أفضل. لذلك يفصل Busseti وRyu وBoyd بين هدف النمو وشرط إضافي يقيّد احتمال هبوط رأس المال تحت مستوى مختار. قاعدة Kelly الأساسية لا تضيف هذه الحماية من تلقاء نفسها. وبالمثل، تتعامل CME مع الخسائر المقبولة بوصفها جزءًا مستقلًا من خطة التداول. النتيجة المتعلقة بتكرار طويل لا تعد بأن ينتهي الحساب رابحًا بعد فترة قصيرة ثابتة. [3] [5]

هذا ما يسمى Fractional Kelly. بدل استخدام النسبة المحسوبة كاملة، نستخدم جزءًا منها ونترك الباقي خارج الرهان. داخل النموذج نفسه، يتغير التوازن بين النمو المتوقع وخطر تراجع رأس المال. لكن نصف النسبة لا يعني نصف احتمال الخسارة ولا أمانًا تلقائيًا. إذا بالغ بيتر في تقدير أفضليته، فالرهان الأصغر لا يصحح الخطأ. لهذا تقيّم دراسات Kelly المقيد بالمخاطر النمو والتراجع كلًا على حدة. ينبغي النظر إلى أي جزء محدد مع افتراضاته؛ ولا نوصي هنا بجزء بعينه لحساب حقيقي. [3] [4]

لنتخيل أن بيتر يفتح عدة صفقات تخسر جميعها مع الحركة نفسها في سعر البيتكوين. قد يبدو كل منها مقبولًا بحساب منفصل، لكن اجتماعها يعرّض مالًا أكثر بكثير للخسارة. لذلك ينظر نموذج Kelly العام إلى العوائد المشتركة ويوزع رأس المال نفسه بين الخيارات. لا يمكن لكل مركز أن يتصرف كما لو أن الحساب كله مخصص له وحده. وتراعي CME أيضًا انكشاف الحساب الإجمالي والرافعة المالية، أي حجم المراكز قياسًا برأس المال الخاص. العلاقات بين النتائج يجب أن تدخل في الحساب. [3] [5]

هل توافق أرباح النموذج وخسائره ما يمكن تنفيذه؟ تشرح Coinbase أن الأمر قد يُنفذ على أجزاء بأسعار مختلفة، وأن أمر الحماية قد لا يحقق الخروج المقصود. لذا يجب أن تشمل النتائج الرسوم والفروق بين الأسعار المتوقعة والفعلية وما تبقى مفتوحًا من المركز. ولا نخصم مرة أخرى تكاليف أُدرجت بالفعل في العوائد الصافية. وتذكّر NFA بأن النتائج الافتراضية تستفيد كثيرًا من معرفة الماضي ولا تثبت تنفيذًا حقيقيًا. نسبة Kelly هي خلاصة النموذج؛ أما موثوقية مدخلاته فتحتاج إلى تحقق مستقل. [6] [7]