Kelly Criterion は、繰り返す賭けや投資に資金のどの割合を振り向けるかを決める数学的な方法です。着目するのは複利的な成長で、次の結果は常に前回の後に残った資金に作用します。確率と払い戻し条件はモデルに与える入力です。手法そのものがそれらを見つけたり、穏やかな値動きを約束したりするわけではありません。
ピーターが全額を賭ければ、勝ったときには最も多く稼げます。しかし一度でも全敗すれば、続けるためのお金がなくなります。John Kelly が 1956 年の論文で扱ったのは、魅力的な平均金額と、ひとつの口座の成長との違いでした。繰り返す取引では、それぞれの収益率が新しい残高にかかります。対数は掛け算を足し算に変え、この成長を比較しやすくする道具です。Kelly が最大化するのは期待される対数成長率であり、期待される現金の賞金ではありません。ここでの「最適」は、その目的と仮定に対して最もよい、という意味です。 [1]
計算だけの例を考えましょう。資金が 1000 USD、投入割合が 0.2 なら、ピーターは 200 USD を賭けます。その全額を失うと残りは 800 USD となり、同じ割合で次に賭ける額は 160 USD に減ります。最初の金額を無理に維持するのではありません。この単純なモデルで f は、その回に全額を失う可能性がある現在資金の割合です。取引ポジションの総額が口座に占める割合と自動的に一致するわけではありません。損失、払い戻し、レバレッジの仕組みが違う場合があるためです。ここでは金額を自由に分割でき、費用もないと仮定します。 [1] [2]
ここから例を一般化できます。勝つ確率を p、負ける確率を q = 1 - p とします。勝てば賭け金が戻り、さらにその b 倍の純利益を得ます。負ければ賭け金をすべて失います。割合 f に対する期待対数成長率は g(f) = p ln(1 + b f) + q ln(1 - f) で、ln は自然対数です。両方の確率と b が正なら、範囲の内部にある最適解は f = p - q / b となります。借り入れも逆側への賭けも認めない場合、負の答えはゼロに置き換えます。負ける可能性があるなら、全資金を賭ける選択は除外されます。残高ゼロの対数が有限にならないからです。一部だけの損失や別の払い戻しがある場合は、それに合ったモデルが必要です。 [2]
小数点以下に多くの桁が並ぶ答えでも、誤った推定に基づいているかもしれません。Kelly Criterion は、ピーターが実際にどの程度勝つかを知りません。下の例では、想定する確率を変えるだけで、それまで有利だった割合の期待対数成長が負になります。Sun と Boyd は複数の結果分布を想定し、許容した中で最悪のケースの成長を最適化することで、この不確実性を扱います。それでも守れるのは、含めた可能性の範囲だけです。モデルから省いたシナリオが現実から消えるわけではありません。 [4]
長期成長は一直線の上昇ではありません。損失が先に続き、ピーターが好転まで待てないこともあります。そこで Busseti、Ryu、Boyd は、成長の目標と、資金が選んだ水準を下回る確率を制限する追加条件を分けています。基本の Kelly ルールだけで、この保護が付くわけではありません。CME も許容損失を取引計画の独立した項目として扱います。長い繰り返しについての結果は、短い一定期間の後に口座が利益を出すという約束ではありません。 [3] [5]
それが Fractional Kelly です。計算した割合のすべてではなく一部を使い、残りは賭けに回しません。同じモデル内で、期待成長と資金下落のリスクの兼ね合いが変わります。しかし割合を半分にしても、損失確率が半分になるわけでも、自動的に安全になるわけでもありません。ピーターが優位性を過大評価していれば、小さな賭けでもその誤りは残ります。リスク制約を加えた Kelly の研究は、成長と下落を別々に評価します。具体的な比率は仮定とともに判断する必要があり、ここでは実際の口座に特定の比率を勧めていません。 [3] [4]
ピーターが、ビットコイン価格の同じ動きですべて損をする取引をいくつか始めたとします。個別計算ではそれぞれ許容範囲でも、合計すると危険にさらす資金はずっと大きくなります。一般の Kelly モデルは同時に生じる払い戻しを考え、同じ資金を各選択肢へ配分します。それぞれのポジションが口座全体を独占しているつもりで計算することはできません。CME は総エクスポージャーとレバレッジ、つまり自己資金に対するポジション規模も考慮します。結果どうしの関係は計算に含める必要があります。 [3] [5]
モデルの利益と損失は、実行できる取引に対応しているでしょうか。Coinbase は、注文が異なる価格で分割約定する場合や、保護注文が予定どおりの手じまいを実現しない場合を説明しています。結果には手数料、想定価格と実際の価格の差、まだ残っているポジションを含める必要があります。純利益に織り込み済みの費用は二重に引きません。NFA も、仮想成績は過去を知っていることに助けられやすく、実際の約定を証明しないと指摘しています。Kelly の割合はモデルから出る結論であり、入力の信頼性は別に確かめる必要があります。 [6] [7]
少し楽観的な見積もりで、何が変わる？
理解を深めるには、この項目とあわせて次もお読みください Expectancy, Position Sizing, Risk of Ruin, Portfolio Risk, Risk Management. 次の項目からも参照されています Max Drawdown, Portfolio Risk.
01数回の取引でも Kelly の割合が最も稼げますか？+
必ずしもそうではありません。基準が扱うのは指定モデルの対数成長です。短い連続取引では別の大きさのほうが稼ぐ場合があり、モデル上の最適解でも損失や大きな下落を経験し得ます。
02半分の Kelly なら安全ですか？+
割合を小さくしただけでは、安全の証明になりません。変わるのは賭けの大きさであり、間違った確率や払い戻し、抜け落ちたシナリオは直りません。モデルと、口座が実際に耐えられる損失が重要です。