Kelly Criterion

Kelly Criterion は、次のステップ後の資本倍率の期待対数に基づき資本配分を選びます。反復すると資本倍率は掛け合わされ、その対数は足し合わされます。ケリーの原論文は、所定の仮定の下で長期成長率についてこの関係を使っています。期待金額の最大化では、全額を失う可能性のある過大な賭けなど、別の選択になることがあります。したがって最適という言葉は常に特定の目的とモデルに対するもので、人のあらゆる必要やすべての将来経路に対するものではありません。 [Kelly — A New Interpretation of Information Rate]

単純なモデルでは、比率 f は一つのステップで全額を失う可能性にさらす現在の資本の一部です。結果が出るたびに、新しい資本から金額を計算し直します。したがって、常に同じ金額を賭けることでも、取引ポジションの想定元本の一定割合を意味することでもありません。独自の確認例では、資本が 1000 USD、比率が 0.2 なら最初の賭けは 200 USD です。それをすべて失うと 800 USD が残り、同じ比率による次の賭けは 160 USD となります。金額を分割でき、追加費用がないと仮定します。 [Kelly — A New Interpretation of Information Rate] [CFA Research Foundation — The Stochastic Programming Approach to Asset, Liability, and Wealth Management]

勝つ確率を p、負ける確率を q = 1 - p とします。勝つと賭け金の b 倍の純利益を得て、負けると賭け金をすべて失います。つまり b は返還される元金を含みません。借入れのない非負の比率について、g(f) = p ln(1 + b f) + q ln(1 - f) を最大化します。ln は自然対数です。負ける確率がゼロでなければ、対数が有限となるには比率が一未満である必要があります。勝ち負けの確率がともに正で b も正の場合、内点の最適解は f = p - q / b です。これが負で、反対側への賭けを認めない場合は比率ゼロを選びます。この公式は、任意の部分損失や複数の異なる払い戻しに修正なしで適用できるものではありません。 [CFA Research Foundation — The Stochastic Programming Approach to Asset, Liability, and Wealth Management]

Kelly Criterion は、実際の勝つ確率を決定しません。誤った推定を入力すれば、計算に誤りがなくても算出された規模が不適切になり得ます。そのため Sun と Boyd は、分布が正確には分からず、所定の可能な分布の集合に属する場合を研究しています。この集合内で最悪の対数成長を最適化します。ただし、この方法もモデルに含まれない可能性からは保護しません。例で使うのは明示的に選んだ二つの仮想確率であり、取引データから得た推定ではありません。 [Sun and Boyd — Distributional Robust Kelly Gambling]

Busseti、Ryu、Boyd は、長期成長の最大化と、資本が選んだ水準を下回る確率への制約を分けています。ケリー最適でも、成長する前に資本が大幅に減ることがあります。この研究では別のリスク条件を加えています。それなしに、基準単独で選んだ下落限度を保証するとは言えません。長い反復についての結果は、固定された少数のステップ後の利益を約束するものでもありません。実務上の計画では、継続できない、または継続したくない境界を別途定める必要があります。 [Busseti, Ryu and Boyd — Risk-Constrained Kelly Gambling] [CME — Risk Management and Your Trade Plan]

Fractional Kelly は、基本基準で計算した比率の一部だけを使います。所定のモデルでは成長と下落リスクの兼ね合いを変えられますが、安全な規模を普遍的に確認するものではありません。誤って推定した比率の半分も、誤った入力に基づいたままです。そのためリスク制約付きの研究は、任意の分数を保証とせず、成長とリスクを別々に比較します。ここでは、実際の口座に適した特定の分数を推奨しません。まず、モデルがどの結果やリスクを含むのかを明らかにする必要があります。 [Busseti, Ryu and Boyd — Risk-Constrained Kelly Gambling] [Sun and Boyd — Distributional Robust Kelly Gambling]

独立に扱う一つの二値の賭けの計算が、そのままポートフォリオの解になるわけではありません。同時保有ポジションは同じ不利なシナリオを共有し、同じ資本を取り合うことがあります。一般的なケリー問題のモデルは、共同の損益分布と選択肢への資本配分を扱います。CME も取引計画でレバレッジ、個別損失、口座の総エクスポージャーを区別しています。したがって、個別に計算した比率を確認せず足したり、それぞれを口座全体に適用したりしてはいけません。共通の予算制約とリスク制約を守る必要があります。 [Busseti, Ryu and Boyd — Risk-Constrained Kelly Gambling] [CME — Risk Management and Your Trade Plan]

市場では、入力した価格とすべての実際の約定価格は同じではありません。Coinbase は、部分約定、成行注文の価格の不確実性、高変動時に保護が執行されない可能性を説明しています。そのためモデルの損益では、費用と未決済残余の扱いを正しく織り込む必要があり、同じ費用を二重に差し引いてはいけません。NFA も、事後の知識と仮想成績の限界を指摘しています。したがって計算された比率は、そのまま取引指示になるものではありません。指定されたモデルの結果であり、入力と適用可能性を別途確認する必要があります。 [Coinbase — Advanced trade order types] [NFA — Use of Promotional Material Containing Hypothetical Performance Results]