Kelly Criterion

Peter bisa mempertaruhkan semuanya dan memperoleh uang paling banyak jika menang. Namun, sekali kalah sepenuhnya, ia tidak punya modal untuk melanjutkan. Perbedaan antara nilai rata-rata yang menggiurkan dan pertumbuhan satu akun inilah yang dibahas John Kelly dalam makalahnya pada 1956. Dalam permainan berulang, setiap imbal hasil berlaku pada saldo baru. Logaritma mengubah perkalian menjadi penjumlahan sehingga pertumbuhan dapat dibandingkan. Karena itu, Kelly memaksimalkan pertumbuhan logaritmis yang diharapkan, bukan jumlah uang kemenangan yang diharapkan. “Optimal” di sini berarti terbaik untuk tujuan dan asumsi tersebut. [1]

Ambil contoh hitungan sederhana. Dengan modal 1000 USD dan bagian 0.2, Peter mempertaruhkan 200 USD. Setelah kehilangan seluruh taruhan, tersisa 800 USD; taruhan berikutnya dengan bagian yang sama hanya 160 USD. Ia tidak memaksakan jumlah awal tetap sama. Dalam model sederhana ini, f adalah bagian dari modal saat ini yang dapat hilang seluruhnya pada langkah tersebut. Ini tidak otomatis sama dengan bagian yang diwakili nilai keseluruhan posisi perdagangan: kerugian, pembayaran, atau leverage-nya bisa berbeda. Contoh mengasumsikan uang dapat dibagi dan tidak ada biaya. [1] [2]

Sekarang kita dapat membuat bentuk umumnya. Peluang menang adalah p dan peluang kalah q = 1 - p. Kemenangan mengembalikan taruhan serta memberikan laba bersih sebesar b kali taruhan; kekalahan menghabiskan seluruh taruhan. Untuk bagian f, pertumbuhan logaritmis yang diharapkan adalah g(f) = p ln(1 + b f) + q ln(1 - f), dengan ln sebagai logaritma natural. Jika kedua probabilitas dan b positif, optimum di bagian dalam rentang adalah f = p - q / b. Tanpa pinjaman dan tanpa taruhan pada hasil sebaliknya, jawaban negatif diganti nol. Peluang kalah yang positif menyingkirkan taruhan seluruh modal, sebab logaritma saldo nol tidak bernilai hingga. Kerugian parsial atau pembayaran tambahan memerlukan model yang sesuai. [2]

Jawaban dapat memiliki banyak angka desimal tetapi tetap bertumpu pada perkiraan yang salah. Kelly Criterion tidak tahu seberapa sering Peter benar-benar akan menang. Dalam contoh di bawah, perubahan probabilitas asumsi saja membuat bagian yang tadinya menguntungkan menghasilkan pertumbuhan logaritmis harapan yang negatif. Sun dan Boyd menangani ketidakpastian ini dengan beberapa kemungkinan distribusi hasil: mereka mengoptimalkan pertumbuhan pada kasus terburuk yang diizinkan. Perlindungan itu pun hanya mencakup kemungkinan yang dimasukkan. Menghapus suatu skenario dari model tidak menghapusnya dari dunia nyata. [4]

Pertumbuhan jangka panjang bukan garis lurus ke atas. Kerugian dapat datang lebih dahulu, dan Peter mungkin tidak sanggup menunggu masa yang lebih baik. Busseti, Ryu dan Boyd karena itu memisahkan tujuan pertumbuhan dari syarat tambahan yang membatasi peluang modal turun di bawah tingkat tertentu. Aturan dasar Kelly tidak menambahkan perlindungan itu dengan sendirinya. CME juga memperlakukan kerugian yang dapat diterima sebagai bagian tersendiri dari rencana perdagangan. Hasil tentang pengulangan jangka panjang tidak menjanjikan keuntungan setelah periode singkat yang sudah ditentukan. [3] [5]

Ini disebut Fractional Kelly. Alih-alih memasang seluruh bagian hasil perhitungan, kita memakai sebagian dan menyisakan sisanya di luar taruhan. Dalam model yang sama, ini mengubah hubungan antara pertumbuhan harapan dan risiko penurunan modal. Setengah bagian bukan berarti setengah peluang rugi atau otomatis aman. Jika Peter melebih-lebihkan keunggulannya, taruhan lebih kecil tidak memperbaiki kekeliruan itu. Penelitian Kelly dengan batas risiko menilai pertumbuhan dan penurunan secara terpisah. Pecahan tertentu harus dinilai bersama asumsinya; tidak ada pecahan yang direkomendasikan di sini untuk akun nyata. [3] [4]

Bayangkan Peter membuka beberapa transaksi yang semuanya rugi ketika harga bitcoin bergerak ke arah yang sama. Perhitungan terpisah mungkin menganggap masing-masing dapat diterima, padahal gabungannya mempertaruhkan jauh lebih banyak uang. Model Kelly yang umum karena itu mempertimbangkan pembayaran bersama dan membagi modal yang sama di antara pilihan. Setiap posisi tidak dapat bertindak seolah seluruh akun tersedia hanya untuk dirinya. CME juga mempertimbangkan eksposur total dan leverage, yaitu besarnya posisi dibanding modal sendiri. Hubungan antarhasil harus masuk ke perhitungan. [3] [5]

Apakah laba dan rugi model sesuai dengan transaksi yang bisa dieksekusi? Coinbase menjelaskan bahwa pesanan bisa terisi sebagian-sebagian pada harga berbeda dan pesanan pelindung belum tentu memberikan jalan keluar yang direncanakan. Hasil perlu mencakup biaya, selisih harga perkiraan dan harga nyata, serta sisa posisi yang masih terbuka. Biaya yang sudah masuk dalam pembayaran bersih tidak boleh dikurangi lagi. NFA juga mengingatkan bahwa hasil hipotetis sering memanfaatkan pengetahuan tentang masa lalu dan bukan bukti eksekusi nyata. Bagian Kelly merupakan kesimpulan model; keandalan masukannya perlu diperiksa tersendiri. [6] [7]