Kelly Criterion

Kelly Criterion обирає розподіл капіталу за очікуваним логарифмом його множника після наступного кроку. За повторення множники капіталу перемножуються, а їхні логарифми додаються. Оригінальна робота Келлі використовує цей зв’язок для довгострокового темпу зростання за заданих припущень. Максимізація очікуваної грошової вартості може дати інший вибір, наприклад завелику ставку з можливістю втратити все. Тому слово «оптимальний» завжди стосується конкретної мети й моделі, а не всіх потреб людини чи кожної майбутньої траєкторії. [Kelly — A New Interpretation of Information Rate]

У простій моделі частка f означає частину поточного капіталу, яку можна повністю втратити за один крок. Після кожного результату грошову суму заново визначають із нового капіталу. Отже, це не постійна грошова ставка і не автоматично відсоток номінальної вартості торгової позиції. Наша контрольна ілюстрація: за капіталу 1000 USD і частки 0.2 перша ставка становить 200 USD; після її повної втрати залишається 800 USD, і та сама частка означає наступну ставку 160 USD. Припускаємо подільність сум і відсутність додаткових витрат. [Kelly — A New Interpretation of Information Rate] [CFA Research Foundation — The Stochastic Programming Approach to Asset, Liability, and Wealth Management]

Позначимо ймовірність виграшу p, а ймовірність програшу q = 1 - p. Виграш дає чистий прибуток у розмірі b ставок, програш — втрату всієї ставки; отже, b не включає повернену ставку. Для невід’ємної частки без запозичення максимізуємо g(f) = p ln(1 + b f) + q ln(1 - f), де ln — натуральний логарифм. За ненульової ймовірності програшу скінченний логарифм вимагає частки меншої за одиницю. Якщо ймовірності виграшу й програшу обидві додатні та b додатне, внутрішній оптимум має вигляд f = p - q / b. Якщо він від’ємний, за заборони протилежної ставки обираємо нульову частку. Ця формула не діє без змін для довільних часткових втрат або кількох різних виплат. [CFA Research Foundation — The Stochastic Programming Approach to Asset, Liability, and Wealth Management]

Kelly Criterion не встановлює реальної ймовірності виграшу. Якщо ввести хибну оцінку, розрахований розмір може бути непридатним навіть за безпомилкової арифметики. Тому Sun і Boyd досліджують варіант, у якому розподіл не відомий точно, а належить до заданої множини можливостей. Вони оптимізують найгірше логарифмічне зростання в цій множині. Навіть цей підхід не захищає від можливостей, пропущених у моделі. У прикладі використано дві явно обрані гіпотетичні ймовірності, а не оцінки з торгових даних. [Sun and Boyd — Distributional Robust Kelly Gambling]

Busseti, Ryu і Boyd відокремлюють максимізацію довгострокового зростання від обмеження ймовірності падіння капіталу нижче обраного рівня. Навіть за оптимуму Келлі капітал може суттєво знизитися перед зростанням. Їхнє дослідження додає окрему умову ризику; без неї не можна стверджувати, що саме правило гарантує обраний ліміт просідання. Результат для тривалого повторення також не обіцяє прибутку після фіксованої малої кількості кроків. Практичний план має окремо визначити межу, за якої вже неможливо або небажано продовжувати. [Busseti, Ryu and Boyd — Risk-Constrained Kelly Gambling] [CME — Risk Management and Your Trade Plan]

Fractional Kelly використовує лише частину частки, розрахованої базовим правилом. У заданій моделі це може змінити компроміс між зростанням і ризиком просідання, але не є універсальним підтвердженням безпечного розміру. Половина хибно оціненої частки все одно походить від хибного входу. Тому дослідження варіанта з обмеженням ризику порівнює зростання й ризик окремо, а не видає довільну частину за гарантію. Жодну конкретну частину тут не рекомендуємо для реального рахунку. Спершу має бути зрозуміло, які результати й ризики взагалі охоплює модель. [Busseti, Ryu and Boyd — Risk-Constrained Kelly Gambling] [Sun and Boyd — Distributional Robust Kelly Gambling]

Розрахунок для однієї ізольованої ставки з двома результатами не є автоматичним розв’язанням задачі портфеля. Одночасні позиції можуть мати спільні несприятливі сценарії та конкурувати за той самий капітал. Загальна модель задачі Келлі працює з розподілом спільних виплат і розподілом капіталу між можливостями. CME також розрізняє в торговому плані плече, окремі втрати й загальну експозицію рахунку. Тому окремо розраховані частки не можна без перевірки просто додавати чи кожну застосовувати до всього рахунку. Потрібно дотримуватися спільних бюджетних і ризикових обмежень. [Busseti, Ryu and Boyd — Risk-Constrained Kelly Gambling] [CME — Risk Management and Your Trade Plan]

На ринку введена ціна не тотожна цінам усіх реальних виконань. Coinbase описує часткові виконання, невизначену ціну ринкового ордера й можливе невиконання захисту за високої волатильності. Тому виплати моделі потребують правильного врахування витрат і поводження з відкритим залишком; ті самі витрати не можна віднімати двічі. NFA також зауважує ретроспективність і обмеження гіпотетичної результативності. Отже, розрахована частка — не готова торгова вказівка. Це результат зазначеної моделі, входи й застосовність якої слід перевірити окремо. [Coinbase — Advanced trade order types] [NFA — Use of Promotional Material Containing Hypothetical Performance Results]