Kelly Criterion — математичний спосіб обрати частку капіталу для повторюваних ставок або інвестицій. Він зосереджений на складеному зростанні: кожен новий результат застосовується до грошей, що залишилися після попереднього. Метод використовує ймовірності та виплати, задані в моделі; сам їх не встановлює й не обіцяє спокійного перебігу.
Петро міг би поставити все й у разі перемоги заробити найбільше. Але після єдиного повного програшу продовжувати вже не буде з чим. Саме різницю між привабливою середньою сумою та зростанням окремого рахунку розглянув John Kelly у праці 1956 року. За повторення кожна дохідність застосовується до нового залишку. Логарифм перетворює множення на додавання й допомагає порівнювати таке зростання. Тому Kelly максимізує очікуване логарифмічне зростання, а не очікуваний грошовий виграш. «Оптимальний» тут означає найкращий саме для цієї мети й цих припущень. [1]
Розгляньмо суто числовий приклад. Маючи 1000 USD і частку 0.2, Петро ставить 200 USD. Після втрати всієї ставки залишається 800 USD; наступна ставка з тією самою часткою становить лише 160 USD. Отже, він не намагається будь-що зберігати початкову суму ставки. У простій моделі f означає частку поточного капіталу, яку можна повністю втратити за цей крок. Це не обов’язково частка загальної вартості біржової позиції: її збитки, виплати чи кредитне плече можуть працювати інакше. Припускаємо довільно подільні суми та відсутність витрат. [1] [2]
Тепер узагальнимо приклад. Імовірність виграшу дорівнює p, програшу — q = 1 - p. Виграш повертає ставку й додає чистий прибуток у b разів більший за неї; програш забирає всю ставку. Для частки f очікуване логарифмічне зростання має вигляд g(f) = p ln(1 + b f) + q ln(1 - f), де ln — натуральний логарифм. Якщо обидві ймовірності й b додатні, внутрішній оптимум становить f = p - q / b. Без позик і можливості ставити на протилежний результат від’ємну відповідь замінюємо нулем. Ненульова ймовірність програшу виключає ставку всього капіталу: логарифм нульового залишку не є скінченним. Часткові втрати або додаткові виплати потребують відповідної моделі. [2]
Відповідь може мати багато десяткових знаків і все одно спиратися на хибну оцінку. Kelly Criterion не знає, як часто Петро насправді виграватиме. У прикладі нижче зміни припущеної ймовірності досить, щоб раніше вигідна частка дала від’ємне очікуване логарифмічне зростання. Sun і Boyd досліджують цю невизначеність через кілька можливих розподілів результатів: оптимізують зростання в найгіршому дозволеному випадку. Навіть цей захист охоплює лише враховані можливості. Вилучений із моделі сценарій не зникає з реального світу. [4]
Довгострокове зростання не є прямою дорогою вгору. Збитки можуть прийти першими, і Петро не обов’язково зможе дочекатися кращого періоду. Тому Busseti, Ryu та Boyd відокремлюють мету зростання від додаткової умови, яка обмежує ймовірність падіння нижче вибраного рівня капіталу. Базове правило Kelly саме не додає цього захисту. CME також розглядає прийнятні збитки як окрему частину торгового плану. Результат для багатьох повторень не обіцяє прибутку після короткого, заздалегідь визначеного періоду. [3] [5]
Це називають Fractional Kelly. Замість усієї розрахованої частки використовують її частину, а решту залишають поза ставкою. У тій самій моделі це змінює співвідношення між очікуваним зростанням і ризиком просідання. Половина частки не означає вдвічі меншу ймовірність втрати або автоматичну безпеку. Якщо Петро переоцінив перевагу, менша ставка не виправить помилку. Дослідження Kelly з обмеженням ризику оцінюють зростання й просідання окремо. Конкретну частку треба розглядати разом із припущеннями; жодна тут не рекомендується для реального рахунку. [3] [4]
Уявімо кілька Петрових угод, що втрачають від того самого руху ціни біткоїна. Окремі розрахунки можуть показати кожну прийнятною, хоча разом вони наражають на втрату значно більше грошей. Загальна модель Kelly тому розглядає спільні виплати й розподіляє той самий капітал між можливостями. Кожна позиція не може вважати, що весь рахунок належить лише їй. CME враховує також сукупну експозицію та кредитне плече, тобто масштаб позицій відносно власного капіталу. Залежності між результатами мають бути всередині розрахунку. [3] [5]
Чи відповідають змодельовані прибутки й збитки тому, що можна виконати? Coinbase пояснює, що ордер може виконуватися частинами за різними цінами, а захисний ордер не завжди забезпечує запланований вихід. Тому результати мають враховувати комісії, різницю між очікуваними й фактичними цінами та відкритий залишок позиції. Витрати, уже включені в чисті виплати, повторно не віднімають. NFA також нагадує: гіпотетичні результати часто спираються на знання минулого й не доводять реального виконання. Частка Kelly — висновок моделі; достовірність її входів треба перевіряти окремо. [6] [7]
Що змінює трохи оптимістичніша оцінка?
Для повної картини прочитайте також Expectancy, Position Sizing, Risk of Ruin, Portfolio Risk, Risk Management. На цю статтю також посилаються Max Drawdown, Portfolio Risk.
01Чи дасть частка Kelly найбільший прибуток уже після кількох угод?+
Не обов’язково. Критерій розглядає логарифмічне зростання в заданій моделі. Інший розмір може заробити більше за коротку послідовність, а оптимум моделі теж може зазнати збитків і глибокого просідання.
02Чи є половина Kelly безпечною заміною?+
Саме зменшення частки не доводить безпеки. Воно змінює ставку, але не виправляє хибні ймовірності, виплати чи відсутні сценарії. Важливими залишаються модель і збиток, який рахунок справді здатен витримати.