Kelly Criterion

Kelly Criterion choisit la répartition du capital selon l’espérance du logarithme de son facteur multiplicatif après l’étape suivante. Avec la répétition, les facteurs se multiplient tandis que leurs logarithmes s’additionnent. L’article original de Kelly utilise ce lien pour le taux de croissance à long terme sous des hypothèses données. Maximiser la valeur monétaire attendue peut conduire à un autre choix, par exemple une mise excessive avec possibilité de tout perdre. Optimal se rapporte donc toujours à un objectif et à un modèle précis, pas à tous les besoins d’une personne ni à chaque trajectoire future. [Kelly — A New Interpretation of Information Rate]

Dans le modèle simple, la fraction f désigne la part du capital actuel susceptible d’être entièrement perdue en une étape. Après chaque résultat, le montant monétaire est recalculé à partir du nouveau capital. Il ne s’agit donc ni d’une mise monétaire constante ni automatiquement d’un pourcentage de la valeur notionnelle d’une position. Notre illustration de contrôle : avec un capital de 1000 USD et une fraction de 0.2, la première mise est de 200 USD ; après sa perte totale, il reste 800 USD, et la même fraction donne une mise suivante de 160 USD. Nous supposons des montants divisibles et aucun coût supplémentaire. [Kelly — A New Interpretation of Information Rate] [CFA Research Foundation — The Stochastic Programming Approach to Asset, Liability, and Wealth Management]

Notons p la probabilité de gagner et q = 1 - p celle de perdre. Une victoire procure un gain net égal à b fois la mise, une défaite fait perdre toute la mise ; b n’inclut donc pas le remboursement de celle-ci. Pour une fraction non négative sans emprunt, nous maximisons g(f) = p ln(1 + b f) + q ln(1 - f), où ln est le logarithme naturel. Si la probabilité de perdre est non nulle, un logarithme fini exige une fraction inférieure à un. Lorsque les probabilités de gain et de perte sont toutes deux positives et b positif, l’optimum intérieur est f = p - q / b. S’il est négatif, nous retenons une fraction nulle lorsque le pari opposé est interdit. Cette formule ne s’applique pas sans adaptation à des pertes partielles quelconques ou à plusieurs paiements différents. [CFA Research Foundation — The Stochastic Programming Approach to Asset, Liability, and Wealth Management]

Kelly Criterion ne détermine pas la probabilité réelle de gagner. Une estimation erronée peut donner une taille inadaptée malgré une arithmétique correcte. Sun et Boyd étudient donc une variante où la distribution n’est pas connue exactement, mais appartient à un ensemble défini de possibilités. Ils optimisent la pire croissance logarithmique au sein de cet ensemble. Cette méthode ne protège pas non plus contre les possibilités omises du modèle. Notre exemple utilise deux probabilités hypothétiques explicitement choisies, pas des estimations issues de données de trading. [Sun and Boyd — Distributional Robust Kelly Gambling]

Busseti, Ryu et Boyd distinguent la maximisation de la croissance à long terme d’une contrainte sur la probabilité de passer sous un niveau de capital choisi. Même à l’optimum de Kelly, le capital peut fortement baisser avant de croître. Leur étude ajoute une condition de risque distincte ; sans elle, on ne peut affirmer que le critère seul garantit une limite de recul choisie. Un résultat pour une longue répétition ne promet pas non plus un bénéfice après un petit nombre fixé d’étapes. Le plan pratique doit préciser séparément le seuil auquel on ne peut plus ou ne souhaite plus continuer. [Busseti, Ryu and Boyd — Risk-Constrained Kelly Gambling] [CME — Risk Management and Your Trade Plan]

Fractional Kelly utilise seulement une partie de la fraction calculée par le critère de base. Dans le modèle donné, cela peut modifier le compromis entre croissance et risque de recul ; ce n’est toutefois pas une validation universelle d’une taille sûre. La moitié d’une fraction mal estimée reste issue d’une mauvaise donnée d’entrée. L’étude de la variante sous contrainte de risque compare donc croissance et risque séparément, au lieu de présenter une fraction quelconque comme une garantie. Nous ne recommandons ici aucune fraction particulière pour un compte réel. Il faut d’abord savoir quels résultats et quels risques le modèle inclut. [Busseti, Ryu and Boyd — Risk-Constrained Kelly Gambling] [Sun and Boyd — Distributional Robust Kelly Gambling]

Le calcul pour un pari binaire isolé ne résout pas automatiquement un portefeuille. Des positions simultanées peuvent partager les mêmes scénarios défavorables et se disputer le même capital. Le modèle général de Kelly utilise la distribution des paiements conjoints et la répartition du capital entre les possibilités. CME distingue également dans le plan de trading le levier, les pertes individuelles et l’exposition totale du compte. Des fractions calculées séparément ne peuvent donc pas être simplement additionnées ou appliquées chacune au compte entier sans vérification. Les contraintes communes de budget et de risque doivent être respectées. [Busseti, Ryu and Boyd — Risk-Constrained Kelly Gambling] [CME — Risk Management and Your Trade Plan]

Sur le marché, le prix saisi n’est pas le prix de toutes les exécutions réelles. Coinbase décrit les exécutions partielles, le prix incertain d’un ordre au marché et la possible absence d’exécution de la protection en forte volatilité. Les paiements du modèle doivent donc intégrer correctement les coûts et le traitement du reliquat ouvert ; les mêmes coûts ne doivent pas être déduits deux fois. La NFA rappelle aussi le bénéfice du recul et les limites des performances hypothétiques. La fraction calculée n’est donc pas une instruction de trading prête à l’emploi. C’est le résultat du modèle indiqué, dont les données et l’applicabilité doivent être vérifiées séparément. [Coinbase — Advanced trade order types] [NFA — Use of Promotional Material Containing Hypothetical Performance Results]