Kelly Criterion est une méthode mathématique pour choisir la fraction du capital consacrée à des paris ou investissements répétés. Elle vise la croissance composée : chaque nouveau résultat porte sur la somme restant après le précédent. Elle utilise les probabilités et les gains fournis au modèle, sans les découvrir elle-même ni promettre un parcours régulier.
Pierre pourrait tout miser et gagner davantage en cas de succès. Mais une seule perte totale le laisserait sans moyens pour continuer. John Kelly a étudié cette différence entre une somme moyenne attrayante et la croissance d’un compte dans son article de 1956. Quand les opérations se répètent, chaque rendement s’applique à un nouveau solde. Le logarithme transforme les multiplications en additions et permet de comparer cette croissance. Kelly maximise donc la croissance logarithmique espérée, pas le gain monétaire espéré. « Optimal » signifie ici meilleur pour cet objectif précis et ces hypothèses. [1]
Prenons un simple exemple de calcul. Avec 1000 USD de capital et une fraction de 0.2, Pierre mise 200 USD. S’il perd toute sa mise, il reste 800 USD ; la mise suivante, avec la même fraction, n’est plus que de 160 USD. Il ne cherche pas à maintenir coûte que coûte la somme initiale. Dans ce modèle simple, f représente la part du capital actuel entièrement exposée à la perte lors de cette étape. Ce n’est pas automatiquement la part correspondant à la valeur totale d’une position : ses pertes, ses gains ou son levier peuvent suivre d’autres règles. Nous supposons des sommes divisibles et aucun coût. [1] [2]
Nous pouvons maintenant généraliser. La probabilité de gain est p, celle de perte q = 1 - p. Un gain restitue la mise et ajoute un bénéfice net égal à b fois cette mise ; une perte absorbe toute la mise. Pour la fraction f, la croissance logarithmique espérée vaut g(f) = p ln(1 + b f) + q ln(1 - f), où ln est le logarithme naturel. Si les deux probabilités et b sont positifs, l’optimum intérieur est f = p - q / b. Sans emprunt ni possibilité de parier sur l’issue opposée, une réponse négative est remplacée par zéro. Dès qu’une perte est possible, miser tout le capital est exclu : le logarithme d’un solde nul n’est pas fini. Des pertes partielles ou davantage d’issues nécessitent un modèle adapté. [2]
Un résultat peut afficher beaucoup de décimales tout en reposant sur une mauvaise estimation. Kelly Criterion ne sait pas à quelle fréquence Pierre gagnera réellement. Dans l’exemple ci-dessous, modifier la probabilité supposée suffit pour qu’une fraction auparavant favorable donne une croissance logarithmique espérée négative. Sun et Boyd abordent cette incertitude en envisageant plusieurs distributions de résultats : ils optimisent la croissance dans le pire cas autorisé. Même cette protection s’arrête aux possibilités incluses. Omettre un scénario du modèle ne le supprime pas du monde réel. [4]
Croître à long terme ne signifie pas monter en ligne droite. Les pertes peuvent arriver d’abord, et Pierre ne pourra peut-être pas attendre des jours meilleurs. Busseti, Ryu et Boyd séparent donc l’objectif de croissance d’une contrainte supplémentaire sur la probabilité de tomber sous un niveau de capital choisi. La règle de Kelly de base n’ajoute pas seule cette protection. CME traite également les pertes acceptables comme un volet distinct du plan de trading. Un résultat portant sur de nombreuses répétitions ne promet pas un compte bénéficiaire après une courte période fixée à l’avance. [3] [5]
C’est le principe de Fractional Kelly. Au lieu d’engager toute la fraction calculée, on en utilise une partie et on garde le reste hors du pari. Dans le même modèle, cela modifie le compromis entre croissance espérée et risque de baisse. Une demi-fraction ne signifie ni une probabilité de perte divisée par deux ni une sécurité automatique. Si Pierre a surestimé son avantage, miser moins ne corrige pas cette erreur. Les travaux sur Kelly avec contrainte de risque évaluent donc séparément croissance et baisses. Une fraction précise s’apprécie avec ses hypothèses ; aucune n’est recommandée ici pour un compte réel. [3] [4]
Supposons que Pierre ouvre plusieurs opérations qui perdent toutes lors du même mouvement du prix du bitcoin. Des calculs séparés pourraient rendre chacune acceptable, alors que leur cumul expose bien plus d’argent. Le modèle général de Kelly considère donc les résultats conjoints et répartit le même capital entre les possibilités. Chaque position ne peut pas prétendre disposer à elle seule de tout le compte. CME examine aussi l’exposition globale et le levier, c’est-à-dire l’ampleur des positions par rapport au capital propre. Les liens entre les résultats doivent entrer dans le calcul. [3] [5]
Les gains et pertes du modèle correspondent-ils à ce qui peut être exécuté ? Coinbase explique qu’un ordre peut être exécuté par morceaux à des prix différents et qu’un ordre de protection peut manquer la sortie prévue. Il faut donc intégrer les frais, les écarts entre prix attendu et obtenu, ainsi que toute position restant ouverte. Les coûts déjà inclus dans les gains nets ne se déduisent pas une seconde fois. NFA rappelle aussi que les résultats hypothétiques bénéficient souvent du recul historique et ne prouvent pas une exécution réelle. La fraction de Kelly est la conclusion du modèle ; la fiabilité de ses entrées se vérifie séparément. [6] [7]
Que change une estimation légèrement plus optimiste ?
Pour une vision complète, lisez aussi Expectancy, Position Sizing, Risk of Ruin, Portfolio Risk, Risk Management. Cette entrée est également citée par Max Drawdown, Portfolio Risk.
01La fraction de Kelly donnera-t-elle le plus gros gain après quelques opérations ?+
Pas nécessairement. Le critère étudie la croissance logarithmique dans le modèle choisi. Une autre taille peut gagner davantage sur une courte séquence, tandis que l’optimum du modèle peut lui aussi subir des pertes et une forte baisse.
02Un demi-Kelly est-il une solution sûre ?+
Réduire la fraction ne démontre pas sa sécurité. Cela change la mise, sans corriger des probabilités ou des gains erronés ni des scénarios absents. Le modèle et la perte que le compte peut réellement supporter restent déterminants.