Kelly Criterion

피터가 전액을 걸면 이겼을 때 가장 많이 벌 수 있습니다. 하지만 한 번이라도 전부 잃으면 계속할 자금이 없어집니다. John Kelly가 1956년 논문에서 다룬 것은 매력적인 평균 금액과 한 계좌의 성장 사이에 있는 이런 차이였습니다. 반복되는 투자에서는 매번 새로운 잔액에 수익률이 적용됩니다. 로그는 곱셈을 덧셈으로 바꾸어 이러한 성장을 비교하게 해 주는 수학적 도구입니다. 따라서 Kelly는 기대 현금 이익이 아니라 기대 로그 성장을 최대화합니다. 여기서 ‘최적’이란 해당 목적과 가정에 가장 적합하다는 뜻입니다. [1]

순수한 계산 예를 보겠습니다. 자본이 1000 USD이고 비율이 0.2라면 피터는 200 USD를 겁니다. 그 금액을 모두 잃으면 800 USD가 남으므로, 같은 비율의 다음 베팅은 160 USD뿐입니다. 처음 금액을 무조건 유지하려는 것이 아닙니다. 이 단순 모형에서 f는 그 단계에서 전부 잃을 수 있는 현재 자본의 비율입니다. 거래 포지션의 총가치가 계좌에서 차지하는 비율과 자동으로 같지는 않습니다. 손실, 지급액, 레버리지 구조가 다를 수 있기 때문입니다. 여기서는 돈을 자유롭게 나눌 수 있고 비용이 없다고 가정합니다. [1] [2]

이제 예를 일반화할 수 있습니다. 이길 확률을 p, 질 확률을 q = 1 - p라고 합시다. 이기면 원래 건 돈을 돌려받고 그 금액의 b배만큼 순이익을 얻으며, 지면 건 돈 전체를 잃습니다. 비율 f의 기대 로그 성장은 g(f) = p ln(1 + b f) + q ln(1 - f)이며 ln은 자연로그입니다. 두 확률과 b가 양수라면 범위 내부의 최적값은 f = p - q / b입니다. 차입과 반대 결과에 대한 베팅을 허용하지 않을 때 음수 답은 영으로 바꿉니다. 질 가능성이 있다면 전액 베팅은 제외됩니다. 잔액 영의 로그는 유한하지 않기 때문입니다. 일부만 잃거나 다른 지급 결과가 더 있다면 거기에 맞는 모형이 필요합니다. [2]

결과에 소수점 아래 숫자가 많이 붙어 있어도 잘못된 추정에 기초할 수 있습니다. Kelly Criterion은 피터가 실제로 얼마나 자주 이길지 모릅니다. 아래 예에서는 가정한 확률만 바꾸어도 앞서 유리했던 비율의 기대 로그 성장이 음수가 됩니다. Sun과 Boyd는 여러 가능한 결과 분포를 고려해, 허용된 경우 중 가장 불리한 경우의 성장을 최적화하는 방식으로 불확실성을 다룹니다. 하지만 이런 보호도 포함한 가능성까지만 유효합니다. 모형에서 빠뜨린 시나리오가 현실에서도 사라지는 것은 아닙니다. [4]

장기 성장은 곧장 위로 가는 길이 아닙니다. 손실이 먼저 이어지면 피터는 더 좋은 시기를 기다릴 수 없을지도 모릅니다. 그래서 Busseti, Ryu, Boyd는 성장 목표와 자본이 정해진 수준 아래로 내려갈 확률을 제한하는 추가 조건을 구분합니다. 기본 Kelly 규칙이 이 보호를 저절로 넣어 주지는 않습니다. CME 역시 감당 가능한 손실을 거래 계획의 별도 항목으로 다룹니다. 오랜 반복에 관한 결과가 짧고 정해진 기간 뒤의 수익을 약속하지는 않습니다. [3] [5]

이를 Fractional Kelly라고 합니다. 계산한 비율 전체가 아니라 일부만 사용하고 나머지는 베팅 밖에 둡니다. 같은 모형에서 기대 성장과 자본 하락 위험의 균형이 달라집니다. 비율을 절반으로 줄인다고 손실 확률도 절반이 되거나 자동으로 안전해지는 것은 아닙니다. 피터가 자신의 우위를 과대평가했다면 베팅을 줄여도 그 오류는 고쳐지지 않습니다. 위험 제약을 둔 Kelly 연구가 성장과 하락을 따로 평가하는 이유입니다. 구체적인 비율은 가정과 함께 판단해야 하며, 여기서는 실제 계좌에 특정 비율을 권하지 않습니다. [3] [4]

피터가 비트코인 가격의 같은 움직임에 모두 손해를 보는 거래를 여러 개 열었다고 합시다. 따로 계산하면 각각 괜찮아 보여도 합치면 훨씬 많은 돈이 손실에 노출됩니다. 일반적인 Kelly 모형은 따라서 함께 발생하는 지급 결과를 고려하고 동일한 자본을 선택지 사이에 배분합니다. 각 포지션이 계좌 전체를 자신만 쓴다고 가정할 수는 없습니다. CME도 계좌의 총노출과 레버리지, 즉 자기 자본에 비한 포지션 규모를 고려합니다. 결과 사이의 관계는 계산 안에 들어가야 합니다. [3] [5]

모형의 이익과 손실이 실제 실행 가능한 거래와 일치하는지도 물어야 합니다. Coinbase는 주문이 여러 가격으로 나뉘어 체결될 수 있고 보호 주문도 의도한 청산을 보장하지 않는다고 설명합니다. 결과에는 수수료, 예상 가격과 실제 가격의 차이, 아직 남아 있는 포지션을 반영해야 합니다. 순지급액에 이미 포함된 비용을 또 빼서는 안 됩니다. NFA도 가상 성과가 과거를 이미 알고 있다는 이점을 누리기 쉬우며 실제 체결의 증거가 아니라고 지적합니다. Kelly 비율은 모형의 결론입니다. 입력값의 신뢰성은 별도로 확인해야 합니다. [6] [7]