Kelly Criterion

Kelly Criterion은 다음 단계 이후 자본 배수의 기대 로그에 따라 자본 배분을 선택합니다. 반복하면 자본 배수는 곱해지고 그 로그는 더해집니다. 켈리의 원래 논문은 주어진 가정 아래 장기 성장률에 이 관계를 활용합니다. 기대 금액을 최대화하면 전액 손실 가능성이 있는 과도한 베팅 등 다른 선택이 나올 수 있습니다. 따라서 최적이라는 말은 언제나 특정 목표와 모형에 관한 것이며, 개인의 모든 필요나 모든 미래 경로에 관한 것은 아닙니다. [Kelly — A New Interpretation of Information Rate]

단순 모형에서 비율 f는 한 단계에서 전부 잃을 수 있는 현재 자본의 일부를 뜻합니다. 각 결과가 나온 뒤에는 새로운 자본으로 금액을 다시 계산합니다. 따라서 항상 같은 금액을 거는 것도, 거래 포지션 명목 가치의 일정 비율을 자동으로 뜻하는 것도 아닙니다. 직접 만든 확인 예시에서 자본이 1000 USD이고 비율이 0.2이면 첫 베팅은 200 USD입니다. 이를 전부 잃으면 800 USD가 남고, 같은 비율의 다음 베팅은 160 USD입니다. 금액을 나눌 수 있으며 추가 비용이 없다고 가정합니다. [Kelly — A New Interpretation of Information Rate] [CFA Research Foundation — The Stochastic Programming Approach to Asset, Liability, and Wealth Management]

이길 확률을 p, 질 확률을 q = 1 - p라고 하겠습니다. 이기면 베팅액의 b배를 순이익으로 얻고 지면 베팅액 전부를 잃으므로, b는 돌려받는 원금을 포함하지 않습니다. 차입 없는 음이 아닌 비율에 대해 g(f) = p ln(1 + b f) + q ln(1 - f)를 최대화하며, ln은 자연로그입니다. 질 확률이 영이 아니면 로그가 유한하려면 비율이 일보다 작아야 합니다. 이길 확률과 질 확률이 모두 양수이고 b도 양수일 때 내부 최적해는 f = p - q / b입니다. 값이 음수이고 반대 베팅이 금지된 경우에는 비율 영을 선택합니다. 이 공식은 임의의 부분 손실이나 여러 다른 지급 결과에 수정 없이 적용되지 않습니다. [CFA Research Foundation — The Stochastic Programming Approach to Asset, Liability, and Wealth Management]

Kelly Criterion은 실제 승리 확률을 결정하지 않습니다. 잘못된 추정치를 넣으면 계산이 정확해도 산출된 규모가 부적절할 수 있습니다. 그래서 Sun과 Boyd는 분포를 정확히 알지 못하지만 정해진 가능성 집합에 속하는 변형을 연구합니다. 이 집합 안에서 최악의 로그 성장을 최적화합니다. 이 방법도 모형에서 빠진 가능성으로부터 보호하지는 못합니다. 예시에서는 거래 데이터에서 얻은 추정치가 아니라 명시적으로 선택한 두 가상 확률을 사용합니다. [Sun and Boyd — Distributional Robust Kelly Gambling]

Busseti, Ryu, Boyd는 장기 성장 최대화와 자본이 선택한 수준 아래로 떨어질 확률의 제한을 구분합니다. 켈리 최적해를 사용해도 성장에 앞서 자본이 크게 줄 수 있습니다. 이들의 연구는 별도의 위험 조건을 추가합니다. 그 조건 없이 기준 자체가 선택한 낙폭 한도를 보장한다고 할 수는 없습니다. 긴 반복에 관한 결과가 고정된 소수 단계 이후의 수익을 약속하는 것도 아닙니다. 실무 계획은 계속할 수 없거나 원하지 않는 경계를 따로 정해야 합니다. [Busseti, Ryu and Boyd — Risk-Constrained Kelly Gambling] [CME — Risk Management and Your Trade Plan]

Fractional Kelly는 기본 기준으로 계산한 비율의 일부만 사용합니다. 주어진 모형에서 성장과 낙폭 위험 사이의 절충을 바꿀 수 있지만, 보편적으로 안전한 규모를 확인해 주지는 않습니다. 잘못 추정한 비율의 절반도 여전히 잘못된 입력에서 나옵니다. 따라서 위험 제약을 둔 변형의 연구는 임의의 분수를 보장으로 제시하지 않고 성장과 위험을 따로 비교합니다. 여기서는 특정 분수가 실제 계좌에 적합하다고 권하지 않습니다. 먼저 모형이 어떤 결과와 위험을 포함하는지 분명해야 합니다. [Busseti, Ryu and Boyd — Risk-Constrained Kelly Gambling] [Sun and Boyd — Distributional Robust Kelly Gambling]

단독으로 다루는 하나의 두 결과 베팅 계산이 포트폴리오 해법이 되는 것은 아닙니다. 동시 포지션은 같은 불리한 시나리오를 공유하고 같은 자본을 두고 경쟁할 수 있습니다. 일반적인 켈리 문제 모형은 공동 지급 분포와 선택지 사이의 자본 배분을 다룹니다. CME도 거래 계획에서 레버리지, 개별 손실, 계좌 총노출을 구분합니다. 따라서 따로 계산한 비율을 검토 없이 더하거나 각각 전체 계좌에 적용해서는 안 됩니다. 공동 예산 제약과 위험 제약을 지켜야 합니다. [Busseti, Ryu and Boyd — Risk-Constrained Kelly Gambling] [CME — Risk Management and Your Trade Plan]

시장에서 입력한 가격은 모든 실제 체결 가격과 같지 않습니다. Coinbase는 부분 체결, 시장가 주문 가격의 불확실성, 높은 변동성에서 보호가 실행되지 않을 가능성을 설명합니다. 따라서 모형의 지급 결과에는 비용과 미결제 잔량 처리를 정확히 반영해야 하며, 같은 비용을 두 번 차감하면 안 됩니다. NFA도 사후 지식과 가상 성과의 한계를 지적합니다. 그러므로 계산된 비율은 바로 실행할 거래 지시가 아닙니다. 명시한 모형의 결과이며 입력과 적용 가능성을 따로 검증해야 합니다. [Coinbase — Advanced trade order types] [NFA — Use of Promotional Material Containing Hypothetical Performance Results]