Kelly Criterion

Пётр мог бы поставить всё и заработать больше всего в случае победы. Но после единственного полного проигрыша продолжать было бы не с чем. Эту разницу между заманчивой средней суммой и ростом отдельного счёта рассматривал John Kelly в работе 1956 года. При повторении каждый доход относится к новому остатку. Логарифм превращает умножение в сложение и позволяет сравнивать такой рост. Поэтому Kelly максимизирует ожидаемый логарифмический рост, а не ожидаемый денежный выигрыш. «Оптимальный» здесь означает лучший для конкретной цели и конкретных предположений. [1]

Возьмём чисто арифметический пример. При капитале 1000 USD и доле 0.2 Пётр ставит 200 USD. После потери всей ставки остаётся 800 USD; следующая ставка той же доли составит лишь 160 USD. Он не пытается любой ценой сохранить исходную денежную ставку. В простой модели f обозначает долю текущего капитала, которую можно полностью потерять за этот шаг. Это не обязательно доля, соответствующая полной стоимости биржевой позиции: её убытки, выплаты или плечо могут работать иначе. Мы предполагаем делимые суммы и отсутствие расходов. [1] [2]

Теперь обобщим пример. Вероятность выигрыша равна p, проигрыша — q = 1 - p. При выигрыше возвращается ставка и добавляется чистая прибыль в размере b ставок; при проигрыше теряется вся ставка. Для доли f ожидаемый логарифмический рост равен g(f) = p ln(1 + b f) + q ln(1 - f), где ln — натуральный логарифм. Если обе вероятности и b положительны, внутренний оптимум имеет вид f = p - q / b. Без заимствований и возможности ставить на противоположный исход отрицательный ответ заменяют нулём. Положительная вероятность проигрыша исключает ставку всего капитала: логарифм нулевого остатка не конечен. Частичные потери или дополнительные выплаты требуют соответствующей модели. [2]

Ответ может содержать много десятичных знаков и всё равно опираться на ошибочную оценку. Kelly Criterion не знает, как часто Пётр будет выигрывать на самом деле. В примере ниже достаточно изменить предполагаемую вероятность, чтобы прежде выгодная доля дала отрицательный ожидаемый логарифмический рост. Sun и Boyd исследуют эту неопределённость через несколько возможных распределений результатов: они оптимизируют рост в худшем допустимом случае. Даже такая защита охватывает только включённые возможности. Сценарий, исключённый из модели, не исчезает из реального мира. [4]

Долгосрочный рост не идёт по прямой вверх. Убытки могут прийти первыми, а Пётр может не суметь дождаться лучших времён. Поэтому Busseti, Ryu и Boyd отделяют цель роста от дополнительного условия, ограничивающего вероятность падения ниже выбранного уровня капитала. Базовое правило Kelly само эту защиту не добавляет. CME также рассматривает допустимые убытки как отдельную часть торгового плана. Результат для множества повторений не обещает прибыли после короткого фиксированного периода. [3] [5]

Это называется Fractional Kelly. Вместо всей рассчитанной доли используют её часть, оставляя остальное вне ставки. В той же модели меняется соотношение ожидаемого роста и риска просадки. Половина доли не означает вдвое меньшую вероятность потери или автоматическую безопасность. Если Пётр переоценил своё преимущество, меньшая ставка не исправит эту ошибку. Исследования Kelly с ограничением риска поэтому оценивают рост и просадки отдельно. Конкретную долю следует рассматривать вместе с предположениями; здесь ни одна не рекомендуется для реального счёта. [3] [4]

Представим, что Пётр открывает несколько сделок, которые теряют от одного и того же движения цены биткоина. Отдельные расчёты могут показать каждую приемлемой, хотя вместе они подвергают риску гораздо больше денег. Общая модель Kelly поэтому рассматривает совместные выплаты и распределяет один и тот же капитал между возможностями. Каждая позиция не может считать, что весь счёт принадлежит только ей. CME учитывает также совокупную экспозицию и плечо, то есть масштаб позиций относительно собственного капитала. Связи между результатами должны входить в расчёт. [3] [5]

Соответствуют ли прибыли и убытки модели тому, что можно исполнить? Coinbase объясняет, что ордер может исполняться частями по разным ценам, а защитный ордер не всегда обеспечивает намеченный выход. Результаты должны включать комиссии, разницу между ожидаемой и фактической ценой и открытый остаток позиции. Расходы, уже учтённые в чистых выплатах, повторно не вычитают. NFA также напоминает: гипотетические результаты часто используют знание прошлого и не доказывают реального исполнения. Доля Kelly — вывод модели; достоверность входных данных нужно проверить отдельно. [6] [7]