Kelly Criterion

Kelly Criterion выбирает распределение капитала по ожидаемому логарифму его множителя после следующего шага. При повторении множители капитала перемножаются, а их логарифмы складываются. Исходная работа Келли использует эту связь для долгосрочного темпа роста при заданных предположениях. Максимизация ожидаемой денежной величины может дать другой выбор, например чрезмерную ставку с возможностью потерять всё. Поэтому оптимальность всегда относится к конкретной цели и модели, а не ко всем потребностям человека или любой будущей траектории. [Kelly — A New Interpretation of Information Rate]

В простой модели доля f означает часть текущего капитала, которую можно полностью потерять за один шаг. После каждого результата денежная сумма заново определяется по новому капиталу. Поэтому это не неизменная денежная ставка и не обязательно процент номинальной стоимости торговой позиции. Наша проверочная иллюстрация: при капитале 1000 USD и доле 0.2 первая ставка равна 200 USD; её полная потеря оставляет 800 USD, и та же доля означает следующую ставку 160 USD. Предполагаются делимые суммы и отсутствие дополнительных издержек. [Kelly — A New Interpretation of Information Rate] [CFA Research Foundation — The Stochastic Programming Approach to Asset, Liability, and Wealth Management]

Обозначим вероятность выигрыша p, а вероятность проигрыша q = 1 - p. Выигрыш приносит чистую прибыль в размере b, умноженного на ставку, а проигрыш означает потерю всей ставки; следовательно, b не включает возвращённый взнос. Для неотрицательной доли без заимствования максимизируется g(f) = p ln(1 + b f) + q ln(1 - f), где ln — натуральный логарифм. При ненулевой вероятности проигрыша конечный логарифм требует долю меньше единицы. Если вероятности выигрыша и проигрыша положительны и b положительно, внутренний оптимум имеет вид f = p - q / b. Если результат отрицателен, при запрете противоположной ставки выбирается нулевая доля. Эта формула без изменений не применима к произвольным частичным потерям или нескольким различным выплатам. [CFA Research Foundation — The Stochastic Programming Approach to Asset, Liability, and Wealth Management]

Kelly Criterion не устанавливает истинную вероятность выигрыша. Если подставить неверную оценку, вычисленный размер может оказаться неподходящим даже при безупречной арифметике. Поэтому Sun и Boyd изучают вариант, где распределение точно неизвестно, но принадлежит заданному множеству возможностей. Они оптимизируют худший логарифмический рост внутри этого множества. Даже такой подход не защищает от возможностей, исключённых из модели. В нашем примере используются две явно выбранные гипотетические вероятности, а не оценки, полученные из торговых данных. [Sun and Boyd — Distributional Robust Kelly Gambling]

Busseti, Ryu и Boyd отделяют максимизацию долгосрочного роста от ограничения вероятности падения капитала ниже выбранного уровня. Даже при оптимуме Келли капитал может существенно снизиться перед ростом. Их исследование добавляет отдельное ограничение риска; без него нельзя утверждать, что сам критерий гарантирует выбранный предел просадки. Результат для длительного повторения также не обещает прибыли после фиксированного малого числа шагов. Практический план должен отдельно определить границу, после которой продолжать невозможно или нежелательно. [Busseti, Ryu and Boyd — Risk-Constrained Kelly Gambling] [CME — Risk Management and Your Trade Plan]

Fractional Kelly использует лишь часть доли, рассчитанной базовым критерием. В данной модели это может изменить компромисс между ростом и риском просадки, но не служит универсальным подтверждением безопасного размера. Половина неверно оценённой доли всё равно получена из неверного входного значения. Поэтому исследование варианта с ограниченным риском сравнивает рост и риск отдельно, а не выдаёт произвольную долю за гарантию. Здесь не рекомендуется никакая конкретная доля для реального счёта. Сначала должно быть ясно, какие результаты и риски модель вообще включает. [Busseti, Ryu and Boyd — Risk-Constrained Kelly Gambling] [Sun and Boyd — Distributional Robust Kelly Gambling]

Расчёт для одной отдельной бинарной ставки не является автоматически решением для портфеля. Одновременные позиции могут иметь общие неблагоприятные сценарии и конкурируют за тот же капитал. Общая модель задачи Келли работает с распределением совместных выплат и размещением капитала между вариантами. CME также различает в торговом плане плечо, отдельные убытки и общую экспозицию счёта. Поэтому отдельно рассчитанные доли нельзя без проверки просто сложить или каждую применить ко всему счёту. Необходимо сохранить общие бюджетные и рисковые ограничения. [Busseti, Ryu and Boyd — Risk-Constrained Kelly Gambling] [CME — Risk Management and Your Trade Plan]

На рынке указанная в заявке цена не равна цене всех фактических исполнений. Coinbase описывает частичные исполнения, неопределённую цену рыночного приказа и защиту, которая может не исполниться при высокой волатильности. Поэтому выплаты модели требуют корректного учёта издержек и открытого остатка; одни и те же издержки нельзя вычитать дважды. NFA также указывает на знание прошлого и ограничения гипотетической доходности. Рассчитанная доля поэтому не является готовой торговой инструкцией. Это результат указанной модели, чьи входные данные и применимость нужно проверять отдельно. [Coinbase — Advanced trade order types] [NFA — Use of Promotional Material Containing Hypothetical Performance Results]